다수결이 가장 불안정하다는 가설, 5변수 반례로 무너뜨리다

초록

본 논문은 5개의 이진 변수에 대한 선형 임계 함수 f(x)=sgn(2x₁+2x₂+x₃+x₄+x₅) 를 제시하고, 이 함수의 1차 푸리에 가중치 W₁이 다수결 함수 Maj₅ 의 W₁보다 작음을 보인다. W₁이 작다는 것은 작은 상관 계수 ρ 에서의 노이즈 안정도 Stab_ρ 가 더 낮다는 뜻이므로, “다수결이 가장 덜 안정적이다”라는 Benjamini‑Kalai‑Schramm의 추측을 반증한다.

상세 분석

“다수결이 가장 불안정(Least Stable)하다”는 가설은 Benjamini, Kalai, Schramm이 제시한 노이즈 민감도 이론의 핵심 질문 중 하나이다. 여기서 다수결 함수 Majₙ은 n이 홀수일 때 입력 x∈{−1,1}ⁿ 에 대해 sgn(∑_{i=1}^{n}x_i) 로 정의되며, 선형 임계 함수(LTF) f는 f(x)=sgn(w·x−θ) 형태를 가진다. 노이즈 안정도 Stab_ρ