다채널 위상 복원과 크기 제약 기반 소스 분리

본 논문은 다채널 관측 시스템에서 복합 신호들의 위상을 복원하는 새로운 문제인 “위상 언믹싱(phase unmixing)”을 정의하고, 이를 해결하기 위한 세 가지 알고리즘을 제안한다. 문제 설정은 다음과 같다. M개의 센서가 K개의 복소 신호 s₀ ∈ ℂᴷ 를 선형 혼합 행렬 A ∈ ℂᴹˣᴷ 로 섞어 y = A s₀ + n (n은 잡음) 형태의 관측값 y ∈ ℂᴹ 를 만든다. 여기서 A와 각 신호의 절대값 b = |s₀| (즉, 각 성분의 크기)만이 정확히 알려져 있고, 위상은 알 수 없다고 가정한다. 목표는 제약 ‖A s – y‖₂² 를 최소화하면서 |s_k| = b_k (k=1…K) 를 만족하는 ŝ 를 찾는 것이다. 이는 제곱 제약을 가진 이차계획(QCQP)으로, 일반적으로 NP‑hard이며 전역 최적을 찾기 어렵다. 논문은 이 문제에 대해 세 가지 접근법을 제시한다. 첫 번째는 기존 다채널 Wiener 필터(MWF)의 해를 구한 뒤, 각 성분의 크기를 알려진 b_k 로 강제로 정규화하는 간단한 휴리스틱 방법이다. 이를 “정규화 다채널 Wiener 필터(NMWF)”라 부른다. 두 번째는 라그랑주 승수를 도입한 교대 최소화(Alternating Minimization) 방식이다. 각 좌표 s_i 를 순차적으로 업데이트하면서 제약을 만족하도록 새로운 위상을 계산한다. 업데이트 식 (5)는 현재 잔차와 해당 열벡터 a_i 를 이용해 새로운 위상을 구하고, 크기는 b_i 로 고정한다. 이 방법은 잔차가 매 반복마다 감소하므로 수렴을 보장하지만, 비선형성 때문에 지역 최소점에 머물 가능성이 있다. 세 번째이자 가장 핵심적인 방법은 “리프팅(lifting)” 기법을 적용한 반정밀화(SDP)이다. 원래의 목표 함수를 ‖A s – y‖₂² = trace(C X) 형태로 변형하고, X =