그린 관계의 복잡도와 변환 반군의 지수적 사다리

초록

본 논문은 유한 집합 위의 변환 반군에서 그린 관계(R, L, J)의 클래스 수와 사다리 높이(체인 길이)를 연구한다. 클래스 수는 반군 크기와 동일한 차수 Θ(nⁿ)이며, 특히 R‑높이는 2^{Θ(n)}의 하한을 가짐을 보인다. 이를 위해 임의의 생성자 집합에 대한 간단한 구성과, 알파벳 크기를 고정했을 때의 복잡한 구성(토큰 머신)을 제시한다. 결과는 결정적 유한 자동기와 그 구문 반군에도 적용된다.

상세 분석

논문은 먼저 변환 반군 S를 Q(크기 n) 위의 전사 함수들의 폐합으로 정의하고, 그린 관계 R, L, J를 오른쪽·왼쪽·양측 Cayley 그래프의 도달 가능성으로 해석한다. 이때 각 관계의 동치 클래스는 강하게 연결된 컴포넌트에 해당한다. 저자는 모든 변환 반군이 가질 수 있는 J‑클래스 수의 상한이 |S|≤nⁿ임을 상기하고, 실제로 3개의 생성자만으로도 nⁿ 크기의 반군을 만들 수 있음을 인용한다. 이를 바탕으로 J‑클래스 수가 Θ(nⁿ)임을 증명한다.

다음으로 사다리 높이, 즉 R‑height, L‑height, J‑height를 정의한다. R‑height는 s₁ >ᴿ … >ᴿ s_ℓ 형태의 체인 최대 길이 ℓ이다. 저자는 일반적인 상한이 nⁿ이지만, R‑height에 대해 2^{Θ(n)}의 하한을 제시한다. 핵심 아이디어는 “토큰 머신”이라는 모델을 도입하는데, 이는 유한 셀 집합 C와 부분 변환 집합 I로 이루어진 쌍(C, I)이다. 프로그램은 I‑문자열이며, 진행성(progressing)과 최대성(maximal)을 만족하는 계산이 존재하면 그 길이 ℓ이 바로 R‑height의 하한이 된다.

구체적인 하한 구축은 두 단계로 이루어진다. 첫째, 임의의 생성자 수에 대해 간단히 n+3개의 상태와 |Σ|+1개의 생성자를 사용해 |T|개의 서로 다른 J‑클래스를 갖는 변환 반군을 만든다(명제 7). 둘째, 알파벳 크기를 고정(예: 5)하면서도 Ω(2^{n}/n^{9.5})의 R‑height를 얻기 위해 복잡한 토큰 머신을 설계한다. 여기서는 셀을 “토큰”이라 보고, 각 명령이 토큰 집합을 일정하게 유지하면서 크기를 감소시키지 않도록 설계한다. Lemma 8과 Proposition 9를 이용해 R‑체인의 각 단계에서 이미지 집합 Q·u_i가 서로 달라야 함을 보이고, 따라서 체인 길이는 셀 수의 상한인 2ⁿ을 초과할 수 없음을 확인한다.

마지막으로 이러한 결과를 결정적 유한 자동기와 그 구문 반군에 적용한다. 변환 반군 T(A)와 자동기 A 사이의 관계를 이용해, n 상태와 알파벳 크기 5인 최소 자동기가 J‑클래스 수 (n−4)·n−4 및 R‑height Ω(2^{n}/n^{9.5})를 가짐을 보인다(Theorem 1, 2). 전체적으로 논문은 변환 반군의 구조적 복잡성을 정량화하고, 특히 고정된 알파벳에서도 지수적 사다리 높이가 가능함을 최초로 증명한다는 점에서 의미가 크다.