곱셈·나눗셈 없이 홀수 정수 분해하기

초록

이 논문은 홀수 정수를 인수분해할 때 반복 단계에서 곱셈과 나눗셈을 배제하고 오직 정수 덧셈·뺄셈만으로 구현할 수 있는 알고리즘을 제시한다. 기본 아이디어는 홀수 n을 두 정수 a·b 형태로 표현하기 위한 디오판틴 방정식을 구성하고, 이를 차분식으로 변형해 반복적으로 근사값을 갱신한다. 구현은 C#으로 이루어졌으며, 소수 쌍의 곱에 대한 실험 결과와 실행 시간에 대한 추정이 포함된다.

상세 분석

논문은 먼저 “모든 정수 n에 대해 n = a·b” 형태의 표현이 존재한다는 기본 사실을 언급하고, n이 짝수일 경우 a 또는 b가 2의 배수가 되므로 쉽게 인수분해가 가능함을 지적한다. 핵심은 n이 홀수일 때 a와 b를 찾는 과정이다. 저자는 n을 n = 2·k + 1 형태로 쓰고, k를 다시 k = 2·m·p + q 형태로 분해하는 일련의 변형을 통해 두 미지수 p와 q에 대한 선형 디오판틴 방정식(2.2)을 도출한다. 이 방정식은 곱셈 연산을 포함하지만, 저자는 이를 차분식(2.3)으로 전환해 반복적으로 p와 q를 조정함으로써 목표값에 근접하도록 설계한다.

특히 2.4와 2.5 절에서는 곱셈을 완전히 없애기 위해 “a·b = ((a+b)² – a² – b²)/2”와 같은 항등식을 이용해 곱을 두 번의 제곱과 뺄셈으로 치환한다. 제곱 연산 자체도 곱셈이지만, 구현에서는 이진 시프트와 누적 덧셈을 이용해 근사적으로 처리한다는 점을 강조한다. 결과적으로 반복 단계에서는 오직 정수 덧셈·뺄셈과 비트 시프트만 사용한다.

복잡도 분석에서는 근사값을 찾는 반복 횟수가 O(√n) 수준이라고 주장하지만, 구체적인 상수와 최악 경우에 대한 증명이 결여되어 있다. 또한 초기값 p₀, q₀를 어떻게 선택하는지가 알고리즘 성공에 결정적인데, 논문은 이를 “제곱근 연산 없이도 가능”하다고 주장하지만 실제 구현에서는 Math.Sqrt를 사용하고 있다.

실험 부분에서는 두 소수의 곱을 대상으로 C# 코드가 실행되었으며, 결과 표가 제시되지만 표 자체가 누락돼 있다. 코드 자체는 변수 이름이 난해하고, 논문 본문과 일치하지 않는 부분(예: val_a, val_b 등)이 존재한다. 전반적으로 아이디어는 흥미하지만, 수학적 엄밀성, 알고리즘의 정확성 증명, 그리고 실제 암호학적 적용 가능성에 대한 논의가 부족하다.