효율적인 불확실성 정량화 방법을 이용한 강제 및 자율 회로의 주기 정상상태 분석

초록

본 논문은 가우시안·비가우시안 공정 변동을 동시에 고려한 주기 정상상태(PSS) 해석을 위해, 스토캐스틱 테스트(ST) 기반의 새로운 불확실성 정량화(UQ) 프레임워크를 제안한다. 강제 회로와 자율 회로 각각에 대해 ST‑기반 슈팅 뉴턴 솔버를 설계하고, 연산량을 크게 감소시키는 디커플링 기법을 도입하였다. LNA와 BJT 콜피츠 발진기 사례에서 기존 Monte‑Carlo, 스펙트럴(PC, SG) 방법 대비 수백 배에서 수천 배까지 속도 향상을 입증하였다.

상세 분석

이 논문은 회로 설계 단계에서 필수적인 주기 정상상태(PSS) 해석에 불확실성 정량화(UQ)를 결합하는 방법론을 체계적으로 제시한다. 기존의 MC 기반 접근법은 표본 수가 많아야 수렴하지만, 수천 회의 트랜지언트 시뮬레이션을 필요로 하여 실용성이 떨어진다. 반면, 스펙트럴 방법(다항 혼합(PC), 일반화 PC(gPC), 스토캐스틱 갈루아니( SG ))은 고차 다항 근사와 전역 테스트를 통해 빠른 수렴을 보이지만, 차원 저주와 복잡한 결합 방정식으로 인해 연산량이 급증한다. 특히 자율 회로에서는 주기와 위상 조건을 동시에 다루어야 하므로, 기존 SG 기반 방법은 K³( K는 gPC 기저 수) 규모의 연산 복잡도를 갖는다.

논문은 이러한 한계를 극복하기 위해 ‘스토캐스틱 테스트(ST)’를 핵심으로 채택한다. ST는 다변량 정규/비정규 분포에 대한 적절한 테스트 포인트 집합을 사전 선정하고, 이들 포인트에 대해 전통적인 결정론적 PSS(슈팅 뉴턴) 해석을 수행한다. 테스트 포인트 수는 gPC 차수와 변수 수에 따라 최소 K 로 제한되며, Vandermonde‑유사 행렬 V가 가역이고 조건수가 좋은 집합을 선택한다. 이렇게 하면 전체 결합 방정식이 K개의 독립적인 소규모 방정식으로 분해된다.

강제 회로의 경우, 원래 비선형 DAEs를 gPC 전개(5)로 확장하고, 테스트 포인트마다 상태 전이 함수 Φ를 계산한다. 이후 g(ȳ)=Φ(ȳ,0,T)−ȳ=0 형태의 BVP를 각 포인트에서 독립적으로 풀어, Jacobian 행렬을 각 포인트별 Monodromy 행렬 M_y 로부터 직접 얻는다. 자율 회로에서는 시간 스케일링을 도입해 주기 T(ξ)=T₀·a(ξ) 를 gPC 로 전개하고, 새로운 시간 변수 τ 를 정의함으로써 비강제 DAEs를 동일한 형태로 변환한다. 여기서도 각 테스트 포인트마다 독립적인 슈팅 뉴턴 문제를 풀어, Jacobian의 블록 구조를 이용해 효율적인 디커플링을 수행한다.

핵심 수학적 아이디어는 변환 행렬 P(=W_n 또는 W_n+1Θ)를 이용해 전체 시스템을 블록 대각 형태로 변환하고, 각 블록 J_k 를 기존 결정론적 PSS 솔버에서 그대로 재활용한다는 점이다. 따라서 기존 솔버의 정확도와 수렴 특성을 그대로 유지하면서, 전체 연산 복잡도는 O(K·n³) 로 크게 감소한다. 대규모 회로에서는 행렬‑프리 iterative 방법을 적용해 O(K·n^β) (β≈1) 수준까지 확장 가능하다.

실험에서는 3차 gPC(35개 기저)와 3차 gPC(20개 기저)를 각각 LNA와 BJT 콜피츠 발진기에 적용하였다. LNA에서는 평균·표준편차가 MC(8000 샘플)와 거의 동일하게 추정되었으며, 전체 시뮬레이션 시간은 3.4초로, 결합형 ST 대비 42배, SG 기반 PSS 대비 71배, MC 대비 2,200배의 속도 향상을 보였다. BJT 발진기에서도 THD와 전력 소비의 PDF가 MC와 일치했으며, 동일한 가속 효과가 확인되었다.

결과적으로, 이 논문은 스토캐스틱 테스트와 전통적인 슈팅 뉴턴 PSS 해석을 결합함으로써, 고차 비선형 회로의 불확실성 정량화를 실시간에 가깝게 수행할 수 있는 실용적인 프레임워크를 제공한다. 특히, 테스트 포인트 기반 디커플링은 병렬화에 유리해 멀티코어·GPU 환경에서도 높은 확장성을 기대할 수 있다.