다변량 스펙트럼 거리와 리만 기하학: 예측 기반 발산과 측지선

본 연구는 다변량 시계열의 전력 스펙트럼 밀도(PSD) 행렬 간 거리와 그에 수반되는 리만 기하학을 체계적으로 구축한다. 서론에서는 신호 처리·시스템 식별·제어 분야에서 모델·신호 간 거리의 중요성을 강조하고, 기존에 제안된 Itakura‑Saito 거리와 로그 스펙트럼 편차가 스칼라 PSD에 적용된 사례를 언급한다. 이어서 이러한 거리 개념을 다변량 행렬 PSD에 일반화하려는 필요성을 제시한다. II절에서는 다변량 정상 과정 {u(k)}와 그 공분산 R_k, 스펙트럼 측도 μ(θ) 를 정의하고, 절대 연속인 경우 μ(θ)=f(θ)dθ 로 표기한다. Kolmogorov 동형사상을 이용해 시간 영역 L²(u) 와 주파수 영역 L²,μ 사이의 일대일 대응을 구축하고, 내적을 행렬형 및 스칼라형 두 가지로 정의한다. 최적 1‑step 예측 문제를 식 (1)·(2) 로 제시하고, 최소화 해는 스펙트럼 팩터 f⁺(z) 로부터 p(z)=f⁺(0)f⁺(z)⁻¹ 로 얻어진다. 최적 예측 오차 공분산 Ω는 식 (4) 의 Szegő‑Kolmogorov 관계를 만족한다. III절에서는 두 PSD f₁, f₂ 를 비교하는 두 관점을 제시한다. 첫 번째는 한 PSD를 기반으로 설계한 최적 필터를 다른 프로세스에 적용했을 때 발생하는 혁신 과정의 “흰색도”를 측정한다. 혁신 과정 h_{i,j}(k)=Ω_j^{-1/2}p_{i,j}(k) 의 PSD는 f_j^{-1/2} f_i f_j^{-1/2} 로 표현되며, 이를 단위 행렬과의 거리로 정량화한다. 여기서 트레이스 기반 거리 D₁(f₁,f₂) 를 (9a) 로 정의하고, Frobenius 노름 형태 (9b) 로 변형한다. 정리 1 에서 D₁이 비음성, 대칭성, 역행렬 불변성, 외부 행렬에 대한 공변성을 만족함을 증명한다. 두 번째 관점은 서브최적 예측 오차 공분산 Ω_{i,j}와 최적 Ω_i 사이의 차이를 이용한다. 명제 2 에서 Ω_{i,j} ≥ Ω_i 를 보이며, 등호는 두 PSD가 동일할 때만 성립한다. 이를 통해 “예측 오류 악화”를 거리의 한 형태로 해석한다. IV절에서는 무한소 변동을 고려해 D₁의 2차 근사를 전개한다. 결과적으로 \