유한 차원 위첸하우젠 역설: 격자 기반 전략의 상수 팩터 근접성

위첸하우젠 카운터예제는 1968년 제시된 두 단계 분산 LQG 시스템으로, 첫 번째 컨트롤러가 초기 상태 X₀를 관측하고 제어 입력 U₁을 가하며, 두 번째 컨트롤러는 잡음이 섞인 관측 Y₂를 기반으로 제어 입력 U₂를 결정한다. 목표는  J = (1/m)·k·U₁² + (1/m)·k·X₂² 의 기대값을 최소화하는 것이다. 여기서 m은 벡터 차원, k는 제어 비용 가중치, σ₀²는 초기 상태 분산, σ_Z²는 관측 잡음 분산이다. 스칼라 경우(m=1)는 원래 위첸하우젠 역설이며, 최적 전략이 아직 알려지지 않았다. 기존 연구에서는 (i) 무한 차원(m→∞)에서 양자화 기반 전략이 최적 비용의 상수 배 이내임을 증명했고, (ii) 다양한 변형을 통해 외부 채널이나 다른 비용 규격을 고려했다. 그러나 무한 차원 결과는 실제 유한 차원 시스템에 바로 적용되지 않으며, 차원에 따라 하한이 크게 달라질 가능성이 있다. 본 논문은 차원을 추가 파라미터로 두고, 유한 차원에서도 동일한 상수‑팩터 근접성을 확보하고자 한다. 이를 위해 다음과 같은 절차를 수행한다. 1. **문제 정의 및 표준화** - 초기 상태 X₀ ∼ N(0, σ₀²·I_m), 잡음 Z ∼ N(0, I_m) (σ_Z²=1로 정규화) 로 가정한다. - 제어 입력과 상태는 벡터 형태이며, 비용은 차원당 평균 제곱값으로 정규화한다. 2. **대편차(sphere‑packing) 기반 하한 도출** - 잡음 Z가 반경 r을 초과할 확률 ψ(m,r)=Pr(‖Z‖≥r)를 정의하고, 이를 이용해 제 2 단계에서 발생할 최소 비용을 추정한다. - 격자 Λ의 포장 반경 r_p와 덮개 반경 r_c, 그리고 포장‑덮개 비 ξ=r_c/r_p를 도입한다. - 첫 번째 컨트롤러가 상태를 격자점으로 강제하면, 두 번째 컨트롤러는 관측 y₂에 대해 r_p 이내에 격자점이 존재할 확률을 계산하고, 존재하지 않을 경우 잡음에 의해 발생하는 비용을 하한으로 잡는다. - 이 과정을 수학적으로 전개하면, 모든 (m,k²,σ₀²) 에 대해   J_opt ≥ L(m,k²,σ₀²) 라는 형태의 하한을 얻는다. 여기서 L은 ψ와 ξ, σ₀² 등을 포함한 명시적 식이다. 3. **격자 기반 양자화 전략 설계** - 첫 번째 컨트롤러: u₁ = q_Λ(x₀) – x₀, 즉 x₀를 가장 가까운 격자점 q_Λ(x₀) 로 강제한다. - 두 번째 컨트롤러: y₂ = x₁ + z 를 관측하고, 반경 r_p 이내에 격자점이 있으면 그 점을 추정값으로, 없으면 y₂ 자체를 추정값으로 사용한다. - 이 전략은 구현이 간단하고, 분석적으로 제 1 단계 비용은 (1/m)·k²·E