보안 그래프와 무선 네트워크 연결성 분석

초록

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본 논문은 무선 네트워크에서 도청자를 고려한 새로운 랜덤 기하 그래프인 ‘보안 그래프’를 제안한다. 격자와 포아송 점 과정 두 가지 배경 모델을 이용해 정점의 차수 분포와 연결성(퍼콜레이션) 임계값을 분석한다. 특히 소량의 도청자만 존재해도 네트워크 연결성이 크게 약화되는 현상을 수학적으로 증명하고, 전력 제한 영역과 보안 제한 영역을 구분한다.

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상세 분석

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보안 그래프는 “좋은 사용자”(good guys)와 “도청자”(eavesdroppers) 두 점 집합을 기반으로 정의된다. 기본적인 무선 네트워크는 완전 연결 그래프 ˆG 로 가정하고, 각 좋은 사용자 쌍 (xi, xj) 사이에 도청자가 거리 δ(xi,xj) 이하의 원 안에 존재하면 해당 방향(edge) 를 삭제한다. 이렇게 만든 방향 그래프 ~G 로부터 양방향만 허용하는 기본 그래프 G 와 단방향이라도 사용 가능한 확장 그래프 G′ 를 파생한다.

격자 모델에서는 ˆG 를 2차원 정사각 격자 L₂ 로 두고, 각 격자 변의 중간에 도청자를 배치하면 전통적인 bond percolation 과 동등함을 보인다. 따라서 G′ₚ 의 퍼콜레이션 임계 확률 pc=½ 로 정확히 계산된다. 반면 도청자를 격자 정점에 놓는 경우는 site percolation 에 해당해 pc≈0.41 정도가 된다.

포아송 모델에서는 ˆG 를 반경 r 의 디스크 그래프(Gilbert graph) 로 두고, 좋은 사용자 집합 Φ 를 단위 밀도 PPP, 도청자 집합 Ψ 를 강도 λ 의 독립 PPP 로 설정한다. 주요 결과는 다음과 같다.

1. 정점 차수: 무한 전송 반경(r→∞)일 때 방향 그래프 ~Gλ,∞ 의 out‑degree 가 기하분포를 따르며 평균 1/λ 이다. 일반 r 에 대해서는 차수 분포가 (14)식으로 주어지고, λ→0 일 때는 포아송, λ→∞ 혹은 r→∞ 일 때는 기하분포로 수렴한다. 평균 차수는 E