이종 랜덤 키 그래프와 불안정 링크의 k‑연결성 분석

** 본 논문은 무선 센서 네트워크(WSN)의 보안성과 신뢰성을 동시에 만족시키는 연결성을 분석한다. 네트워크는 이종 랜덤 키 사전배포 방식을 사용하며, 각 센서는 사전 정의된 \(r\) 개의 클래스 중 하나에 속한다. 클래스 \(i\) 에 속한 센서는 키 풀 \(P\) 에서 \(K_i\) 개의 키를 무작위로 선택한다. 두 센서가 동일한 키를 하나라도 공유하면 암호화된 통신이 가능하므로, 이 관계는 이종 랜덤 키 그래프 \(\mathbb{K}(n;\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{K},P)\) 로 모델링된다. 실제 무선 환경에서는 링크가 불안정하기 때문에, 온/오프 채널 모델을 도입한다. 각 링크는 독립적으로 확률 \(\alpha\) 로 “켜짐” 상태가 되며, 이는 표준 Erdős‑Rényi 그래프 \(\mathbb{G}(n;\alpha)\) 와 동일하다. 전체 네트워크 토폴로지는 두 그래프의 교차 \(H(n)=\mathbb{K}\cap\mathbb{G}\) 로 정의된다. 즉, 두 센서가 동시에 (1) 물리적 링크가 존재하고 (2) 암호키를 공유해야만 실제 통신이 가능하다. 연구 목표는 두 가지이다. 첫째, 모든 노드의 차수가 최소 \(k\) 이상인 사건, 즉 최소 차수 \(\delta(H)\ge k\)가 발생할 확률을 규명한다. 둘째, 그래프가 \(k\)-연결성(\(k\)-connected) 즉, 어떤 \(k-1\)개의 노드가 제거되더라도 네트워크가 여전히 연결된 상태를 유지하는지를 분석한다. 두 특성 모두 네트워크의 내구성을 나타내는 핵심 지표이며, 특히 모바일 WSN이나 배터리 고장 상황에서 중요하다. ### 주요 정의와 파라미터 - **클래스 분포** \(\boldsymbol{\mu}=(\mu_1,\dots,\mu_r)\) : 각 클래스에 속할 확률, \(\sum_i\mu_i=1\). - **키 링 크기** \(\boldsymbol{K}=(K_1,\dots,K_r)\) : 클래스 \(i\) 노드가 보유한 키 수, \(K_1\le K_2\le\dots\le K_r\). - **키 풀 크기** \(P\) : 전체 키의 수, 일반적으로 \(P\gg K_i\). - **채널 활성 확률** \(\alpha\) : 온/오프 모델에서 링크가 “켜짐”일 확률. 클래스 \(i\)와 \(j\) 사이의 키 공유 확률은 \