다항시간 SDP 완화로 보는 Gromov‑Hausdorff 거리

본 논문은 Gromov‑Hausdorff 거리(GH 거리)의 계산이 실질적으로 불가능에 가깝다는 점을 출발점으로 삼는다. GH 거리는 두 컴팩트 메트릭 공간을 공통의 임베딩 공간에 삽입한 뒤 Hausdorff 거리를 최소화하는 정의를 갖는데, 이는 모든 가능한 임베딩을 탐색해야 하므로 NP‑hard 문제에 해당한다. 이러한 난관을 극복하고자, 저자들은 두 단계의 완화를 제안한다. 첫 번째는 Mémoli가 제시한 Gromov‑Wasserstein 거리(D_p)로, 이는 최적 수송 계획을 이용해 거리 차이를 평균화한다. 그러나 D_p 역시 비볼록 최적화 문제이며, 대규모 데이터에 적용하기엔 여전히 비효율적이다. 두 번째이자 핵심인 SDP 완화는 유한 메트릭 공간 X={x₁,…,x_n}, Y={y₁,…,y_m}에 대해 대응 행렬 μ∈