지역 알고리즘이 반달리즘 SDP를 얼마나 잘 근사할 수 있는가

본 논문은 고차원 통계와 머신러닝에서 나타나는 “지역 알고리즘은 성공하고 SDP는 실패한다” 혹은 “SDP는 성공하고 지역 알고리즘은 실패한다”는 이분법적 현상을 체계적으로 탐구한다. 이를 위해 저자들은 최소 그래프 이분 문제의 전통적인 SDP 완화(식 3)를 평균 차수 d>1인 Erdős‑Rényi 무작위 그래프 G∼G(n,d/n)에 적용한다. 첫 번째 주요 결과는 비백트래킹 행렬 B(G) 를 이용한 이중 증거를 통해 SDP의 상한을 도출한다. 비백트래킹 행렬은 그래프의 비순환 경로를 나타내며, 그 스펙트럼은 그래프의 전파 특성을 반영한다. 이를 활용해 “2√d·(1−1/(2d))” 형태의 상한을 얻으며, 이는 d가 커질수록 실제 최적값에 근접한다. 두 번째로, 반경 ℓ이 고정된 단순 지역 알고리즘을 설계한다. 각 정점 i에 대해 독립적인 표준 정규 변수 z(j)를 거리 가중치 d^{−dist(i,j)/2} 로 가중합한 ξ_i를 만든다. 이 ξ_i들의 공분산 행렬 X=E_z