단순 3정규 그래프의 TSP 1.3배 근사 알고리즘

초록

이 논문은 정점 수 n ≥ 8인 단순하고 브리지를 갖지 않는 3정규 그래프에 대해, 길이가 최대 1.3 n − 2인 여행 판매원 순회(TSP 투어)를 다항 시간 내에 구성할 수 있음을 증명한다. 핵심은 비용이 1.3 n 이하인 짝수 인자(even factor)를 찾고, 이를 기반으로 스와프(swap) 연산을 적용해 비용을 감소시키는 방법이다.

상세 분석

논문은 먼저 그래프 G가 단순하고 브리지를 갖지 않는 3정규임을 가정하고, TSP 투어를 구성하기 위한 새로운 관점을 제시한다. 기존의 그래프 TSP 접근법은 2‑인자(2‑factor) 혹은 완전 매칭을 이용해 비용을 추정했지만, 저자들은 ‘짝수 인자(even factor)’라는 개념을 도입한다. 짝수 인자는 각 연결 성분이 오일러 그래프(즉, 모든 정점의 차수가 짝수)인 스패닝 서브그래프이며, 3정규 그래프에서는 성분이 회로 혹은 고립 정점만 존재한다. 짝수 인자 F의 비용을 c(F)=|E(F)|+2·|C_F|+|V_F| 로 정의하고, 이는 TSP 투어 길이와 정확히 2만큼 차이 난다. 따라서 비용 ≤ 1.3 n인 짝수 인자를 찾으면 바로 원하는 상한을 얻는다.

다음 단계에서는 ‘제한된 짝수 인자(BE factor)’를 정의한다. 여기서는 고립 정점이 반드시 어떤 회로에 ‘묶여(bound)’ 있어야 하며, 이를 통해 고립 정점이 차지하는 비용을 해당 회로와 공유한다. BE factor의 각 X‑회로는 회로와 그에 묶인 고립 정점들의 합집합이며, 비용은 |V(X)|+|V_X|+2 로 계산된다. 이렇게 하면 짧은 회로와 고립 정점이 비용을 과도하게 증가시키는 현상을 억제할 수 있다.

핵심 기술은 ‘스와프(swap)’ 연산이다. 4‑스와프와 5‑스와프, 6‑스와프를 정의하여, 각각 4‑,5‑,6‑길이의 사이클에서 두 개 혹은 세 개의 기존 회로를 하나의 큰 회로로 합친다. 스와프를 적용하면 비용이 정확히 2 또는 3만큼 감소한다(예: 4‑스와프는 두 회로를 합쳐 비용 차이 2). 중요한 점은 스와프 후에도 BE factor의 성질이 유지된다는 증명이다. 따라서 초기 짝수 인자를 적절히 선택하고, 가능한 많은 스와프를 적용하면 전체 비용을 1.3 n 이하로 낮출 수 있다.

초기 짝수 인자 선택을 위해 저자들은 ‘키 레마(Lemma 9)’를 제시한다. 이 레마는 임의의 2‑인자 F에 대해, 각 정점이 속한 회로의 길이와 고립 정점의 배치를 고려해, 일정 비율 이상이 ‘큰 회로(길이 ≥ 7)’에 속하도록 보장한다. 이를 통해 스와프 적용 가능성이 충분히 확보된다. 레마의 증명은 그래프의 구조적 특성을 이용해, ‘감소 가능한 서브그래프(리듀서블 서브그래프)’가 존재하면 반증을 통해 최소 반례가 존재하지 않음을 보인다. 리듀서블 서브그래프는 5‑회로에 첨가된 �ord, 8‑다이아몬드 등 네 종류로 정의되며, 논문 초반에 이들이 최소 반례에 포함될 수 없음을 보인다.

전체 증명 흐름은 다음과 같다. (1) 최소 반례가 존재한다면 반드시 ‘비감소 가능한’ 그래프여야 함을 보인다. (2) 그런 그래프에 대해 초기 2‑인자를 선택하고, 레마 9를 적용해 회로 길이 분포를 확보한다. (3) 확보된 회로들을 순차적으로 4‑,5‑,6‑스와프에 넣어 비용을 감소시킨다. (4) 모든 스와프가 끝난 뒤 남은 회로와 고립 정점들의 비용 합이 ≤ 1.3 n임을 계산적으로 증명한다. 마지막으로, 스와프 과정과 초기 2‑인자 선택이 모두 다항 시간 알고리즘으로 구현 가능함을 논의한다. 따라서 논문은 단순 3정규 그래프에 대한 TSP 1.3‑근사 비율을 최초로 달성하고, 기존 4/3‑근사(≈1.333…)보다 현저히 개선된 결과를 제공한다.