스페이스‑타임 콕스 프로세스로 보는 반응‑확산 시스템의 추정

본 논문은 공간에 분포된 입자들의 확률적 상호작용을 기술하는 확률적 반응‑확산 과정(SRDP)의 추정 문제를 해결하기 위해, 통계 물리학의 포아송 표현(Poisson Representation, PR)과 공간‑시간 통계학의 콕스 포아송 프로세스(Cox process)를 연결한다. SRDP는 입자들이 브라운 운동을 하면서 사전 정의된 반응 규칙에 따라 생성·소멸·반응하는 모델로, 생물학, 생태학, 전염병학 등 다양한 분야에서 활용된다. 그러나 SRDP는 연속적인 공간에서의 해석이 어려워, 전통적으로는 입자 기반 브라운 시뮬레이션이나 공간을 격자화한 반응‑확산 마스터 방정식(RDME)을 사용한다. 이 접근법은 격자 크기가 작아질수록 계산 비용이 급증하고, 실제 SRDP와의 수렴이 보장되지 않아 파라미터 추정에 큰 제약이 된다. 저자들은 먼저 Gardiner가 제시한 PR을 SRDP에 적용한다. PR은 시스템의 확률 분포 P(n,t)를 복소수 평균 u를 갖는 포아송 혼합으로 표현한다. 이때 u는 복소수값을 가질 수 있어 물리적 해석이 어려우며, 특히 이중분자 반응이나 서로 다른 생성물 두 개를 갖는 일차 반응에서는 복소수 u가 필연적으로 등장한다. 이를 극복하기 위해 논문은 ‘데마르지날리제이션(demarginalisation)’이라는 아이디어를 도입한다. 즉, u와 실제 입자 수 n을 동시에 기술하는 확장된 확률 과정으로 전환하고, u를 무작위 강도 필드로 해석한다. 강도 필드 u(x,t)를 실수값으로 만들기 위해 평균‑장 근사를 적용한다. 예를 들어, 이중분자 반응 A+B→C의 반응속도 k n_A n_B/Ω를 A+⟨B⟩→C와 B+⟨A⟩→C 두 개의 일차 반응으로 대체한다. 여기서 ⟨B⟩는 B 입자 수의 평균이며, 이 평균은 현재 강도 필드의 기대값으로 대체된다. 이러한 변환은 모든 이중분자 반응과 두 종류의 생성물을 갖는 일차 반응에 적용 가능하며, 결과적으로 u는 실수값을 갖는 확률 미분 방정식(SPDE)으로 기술된다. 도출된 SPDE는 다음과 같다. du_i(x,t) =