양자 게임을 이용한 의견 형성 모델 분석

초록

본 논문은 마리나토‑웨버(MW) 양자 게임 스키마를 적용해 기존의 세 가지 의견 형성 게임(GM I, II, III)을 양자화하고, 각 모델의 균형점과 공동 급여 변화를 분석한다. 결과적으로 GM I·II는 양자화 후에도 제로섬 특성을 유지하지만, GM III는 초기 얽힌 상태 선택에 따라 거리 조건 없이도 양측 모두에게 이득이 되는 비제로섬(윈‑윈) 균형을 만들 수 있음을 보였다.

상세 분석

이 연구는 먼저 Di Mare와 Latora가 제시한 의견 형성 게임을 세 가지 형태로 정리한다. GM I은 ‘변경(Change)’과 ‘유지(Keep)’ 두 전략만을 갖는 2×2 제로섬 게임이며, 고유한 내시 균형(Nash equilibrium, NE)은 (Keep, Keep)이다. GM II는 ‘동의(Agree)’ 전략을 추가한 3×3 제로섬 게임으로, 역시 (Keep, Keep)이 유일한 NE를 가진다. GM III는 GM II에 의견 거리 d를 도입해 비제로섬 특성을 가질 수 있는 조건(d ≤ 1/(b + c))을 포함한다.

양자화 단계에서는 MW 스키마를 이용한다. 2×2 게임인 GM I는 기존 MW 방식대로 두 플레이어가 각각 I와 교환 연산자 C를 확률 p, 1‑p, q, 1‑q로 적용한다. 초기 상태 |ψ_in⟩=∑{i,j=1}^2 u{ij}|ij⟩의 엔트로피가 1이면 고전 게임으로 환원된다. 기대 급여를 계산하면 ⟨$ₐ⟩+⟨$_B⟩=0이므로 제로섬 구조는 유지된다.

GM II와 GM III는 3×3 차원으로 확장된 MW 스키마(Iqbal‑Toor) 를 사용한다. 각 플레이어는 I, C, D 세 개의 유니터리 연산자를 확률적으로 적용하고, 초기 상태 |ψ_in⟩=∑{i,j=1}^3 u{ij}|ij⟩을 가정한다. GM II의 경우에도 기대 급여 합이 0이므로 제로섬 특성이 변하지 않는다.

반면 GM III에서는 초기 상태를 |ψ_in⟩=√0.5|11⟩+√0.5|33⟩와 같이 특정 얽힘을 선택하면, 기대 급여 합이 (2|u_{13}|²+…+4|u_{33}|²)/d 형태로 d에만 의존하게 된다. 최적화 결과 최대값 4/d가 도출되며, 이는 기존 고전 모델에서 d ≤ 1/(b + c)일 때만 얻을 수 있던 비제로섬 급여와 동일하거나 더 큰 값을 제공한다. 특히 p₁=q₁=1인 전략 조합을 선택하면 (Keep, Agree) 형태의 NE가 존재하고, 양측 모두 1/d의 급여를 받아 윈‑윈 결과가 무조건 보장된다. 즉, 양자화는 거리 조건을 완전히 제거하고 비제로섬 균형을 생성한다.

이러한 결과는 양자 얽힘이 전략 공간을 확장해 기존 게임 이론에서 불가능했던 협력적 결과를 가능하게 함을 시사한다. 특히 의견 거리와 같은 사회적 파라미터가 양자 상태에 의해 효과적으로 “무시”될 수 있음을 보여준다.