내부 시간과 물리적 시간 차이가 1/f 잡음 생성에 미치는 영향

초록

본 논문은 신호의 내부(운영) 시간과 물리적 시간 사이의 비선형 관계가 1/f 잡음(전력 스펙트럼이 f⁻¹에 비례) 발생의 핵심 메커니즘임을 보인다. 기존의 점 과정 모델을 확장해, 내부 시간에서 정의된 브라운 운동을 기술하는 확률 미분 방정식과, 신호 강도에 따라 내부 시간을 물리적 시간에 매핑하는 추가 방정식을 결합한다. 이 복합 시스템은 넓은 주파수 구간에서 1/f 스펙트럼을 생성하며, 다양한 물리·생물·경제 시스템에 적용 가능함을 제시한다.

상세 분석

논문은 먼저 기존 점 과정 모델을 재검토하고, 펄스 시퀀스의 인터펄스 간격이 마코프 과정, 특히 평균이 이전 간격과 거의 동일하고 분산이 매우 작은 경우에 한해, 해당 간격이 랜덤 워크 형태로 변동한다는 가정을 두었다. 이때 인터펄스 간격의 확률 밀도 함수가 넓은 구간에 걸쳐 거의 균등하게 분포하고, 최소·최대 간격 사이의 비율이 크면(θ_max≫θ_min) 특성 함수 χ_θ(ωq) 가 급격히 감소하면서 PSD가 S(f)≈C·f⁻¹ 형태를 보인다. 여기서 C는 평균 펄스 발생률 ν와 최소 간격에서의 확률 밀도 P_θ(θ_min)에 비례한다. 이 분석은 고주파에서 sin(q_max u)/u 형태의 피크가 폭이 좁아져서 P_θ와 거의 겹치지 않음으로써 1/f 구간이 제한된다는 점을 명확히 한다.

다음 단계에서는 내부 시간 τ를 도입해, 일반적인 이토 해석에 따라 dx_τ = a(x_τ)dτ + b(x_τ)dW_τ 형태의 비선형 확산 방정식을 설정한다. 여기서 a(x)와 b(x)는 신호 x에 의존하는 드리프트와 확산 계수이며, b(x) 의 x‑의존성은 비선형성을 확보한다. 내부 시간 τ는 물리적 시간 t와 d t = g(x_τ)dτ 로 연결되는데, g(x) 는 양의 함수로서 신호 강도에 비례한다. 즉, 신호가 클수록 물리적 시간이 더 빠르게 흐르는 가변 시계가 된다. 이 관계식은 기존의 시간‑서브오디네이션 모델을 일반화한 것으로, 물리적 시간 증분이 내부 시간 증분에 비선형적으로 가중된다는 점에서 차별화된다.

이 두 방정식을 결합하면, x(t) = x(τ(t)) 로 표현되는 복합 확률 과정이 정의된다. 주요 결과는 g(x) 가 적절히 선택될 경우(예: g(x)∝x^α) x(t)의 자기상관 함수가 장시간 지수적 감소 대신 파워‑로우 형태를 띠게 되며, 푸리에 변환을 통해 PSD가 S(f)∝f^{-(1+α/(2−δ))} 로 나타난다. 여기서 δ는 확산 계수 b(x) 의 비선형 차수, α는 g(x) 의 비선형 차수이다. 특히 α=0, δ≈1 일 때 β≈1이 되어 전형적인 1/f 잡음이 재현된다. 논문은 수치 시뮬레이션을 통해 θ_j+1 = θ_j ± σ 로 정의된 랜덤 워크 인터펄스 모델이 4×10⁻⁵ Hz부터 10⁻¹ Hz까지 약 5 오더의 주파수 구간에서 1/f 스펙트럼을 보임을 확인한다.

또한, 비선형 SDE 를 직접 해석하기 어려운 경우, 내부 시간 τ 를 가변 스텝으로 선택해 적분 간격을 자동 조정함으로써 수치적 안정성을 확보하는 방법을 제시한다. 이는 고차 비선형성(예: b(x)∝x^μ) 을 포함한 방정식에서도 효율적인 시뮬레이션을 가능하게 하며, 실제 물리·생물 시스템에서 관측되는 장시간 상관과 1/f 잡음 현상을 모델링하는 데 실용적이다. 전체적으로 논문은 “시간‑서브오디네이션 + 비선형 확산”이라는 두 축을 결합해, 내부 시간과 물리적 시간의 비선형 매핑이 1/f 잡음의 보편성을 설명할 수 있는 강력한 메커니즘임을 증명한다.