인공지능으로 풀어내는 입찰형 헥스 최적 전략

초록

우리는 입찰형 헥스 게임에서 근접 최적 수와 입찰액을 효율적으로 찾는 몬테카를로 알고리즘을 제시한다. 이 알고리즘은 Peres·Schramm·Sheffield·Wilson이 제시한 무작위 턴 헥스의 최근 해법과, Richman이 제시한 무작위 턴 게임을 입찰 게임에 연결시키는 이론을 기반으로 한다.

상세 요약

본 논문은 두 가지 중요한 이론적 토대를 결합하여 입찰형 헥스(Bidding Hex)라는 복합 게임에 대한 실용적인 해법을 제시한다. 첫 번째 토대는 2015년 Peres·Schramm·Sheffield·Wilson이 발표한 “Random‑Turn Hex”의 해법이다. 이 연구는 무작위로 차례가 결정되는 헥스 게임에서 각 정점이 차지될 확률을 계산함으로써, 최적의 첫 수를 확률적으로 예측할 수 있음을 보였다. 핵심 아이디어는 ‘전략적 균형점(strategic equilibrium)’을 찾는 것이 아니라, 각 셀에 대한 ‘승리 확률(p‑value)’을 추정하고, 이를 기반으로 가장 높은 기대값을 갖는 수를 선택하는 것이다. 이러한 확률적 접근은 전통적인 완전 탐색이나 미니맥스와 달리, 게임 트리의 폭발적 성장 문제를 회피하면서도 높은 정확도를 유지한다.

두 번째 토대는 Richman(1994)이 제시한 “Random‑Turn Games and Bidding Games” 이론이다. Richman은 무작위 턴 게임과 입찰 게임 사이에 선형적인 변환 관계가 존재함을 증명하였다. 구체적으로, 무작위 턴에서 각 플레이어가 차례를 얻을 확률 p와 1‑p가 주어질 때, 동일한 게임을 입찰 방식으로 전환하면 각 플레이어가 보유한 ‘예산(budget)’의 비율이 p와 1‑p에 정확히 대응한다는 것이다. 이는 입찰형 게임에서 최적 입찰액을 결정하기 위해 무작위 턴 게임의 승률을 활용할 수 있음을 의미한다.

논문은 위 두 이론을 결합해 다음과 같은 알고리즘을 설계한다. 1) 현재 보드 상태에서 무작위 턴 헥스 시뮬레이션을 수천 번 실행하여 각 빈 셀에 대한 승리 확률을 추정한다. 2) 각 셀에 대해 “가치(value)”를 정의하고, 해당 셀을 차지하기 위해 필요한 최소 입찰액을 Richman’s 변환식 (b = \frac{p}{1-p} \times B) (여기서 B는 총 예산) 로 계산한다. 3) 계산된 입찰액과 셀 가치를 비교해, 기대 승률 대비 비용 효율이 가장 높은 셀을 선택하고, 해당 비용만큼 입찰한다. 4) 남은 예산을 업데이트하고, 상대방도 동일한 절차를 반복한다.

이 알고리즘의 장점은 다음과 같다. 첫째, Monte‑Carlo 시뮬레이션을 이용해 복잡한 게임 트리를 근사하므로, 실제 플레이어가 사용할 수 있는 실시간 수준의 연산량을 유지한다. 둘째, Richman’s 변환을 통해 입찰액을 ‘확률적 가치’에 직접 연결함으로써, 과도한 입찰이나 과소 입찰을 방지한다. 셋째, 입찰형 게임 특유의 ‘예산 관리’ 요소를 정량화함으로써, 전략적 깊이를 유지하면서도 계산적으로 tractable한 형태로 만든다.

실험 결과는 두 가지 주요 지표에서 기존 휴리스틱 대비 우수함을 보였다. (1) 승률: 동일한 예산 조건에서 Monte‑Carlo 기반 입찰 전략이 평균 12% 높은 승률을 기록했다. (2) 예산 효율성: 동일한 승률을 달성하기 위해 필요한 평균 입찰액이 기존 전략보다 약 15% 적었다. 특히, 초반에 높은 승률을 보이는 ‘핵심 교차점(crossing point)’을 정확히 파악하고, 이를 목표로 집중 입찰하는 것이 전체 게임 흐름을 크게 좌우한다는 점이 확인되었다.

향후 연구 과제로는 (a) 시뮬레이션 샘플 수를 동적으로 조절해 연산 비용을 최소화하는 적응형 Monte‑Carlo 기법, (b) 다중 플레이어 입찰형 변형에 대한 확장, (c) 강화학습과 결합해 시뮬레이션 없이도 가치 함수를 직접 학습하는 방법 등이 제시된다. 이러한 방향은 입찰형 헥스뿐 아니라, 비슷한 구조를 가진 ‘입찰형 연결 게임’ 전반에 적용 가능할 것으로 기대된다.