이질적 감염률을 고려한 SIS 전염 모델의 동역학 분석

초록

본 연구는 SIS 모델에서 감염률을 독립적이고 동일하게 분포(i.i.d.)된 확률 변수로 두어, 로그정규, 감마, 그리고 새롭게 설계한 대칭 다항식(SP) 분포의 이질성을 조사한다. 평균 감염률을 동일하게 맞춘 뒤, 분산(및 고차 모멘트)이 증가할수록 전염이 억제되는 현상을 발견했으며, 특히 짝수 차 모멘트가 클수록 평균 감염 비율이 감소하고, 홀수 차 모멘트는 반대 효과를 나타낸다. 회복률이 작아 전염이 지속되는 경우와 크게 설정해 전염이 사라질 위험이 있는 경우를 모두 실험했으며, 실제 네트워크(ER, SF)와 실 데이터에서도 동일한 경향을 확인했다. 결과는 전통적인 균일 감염률 가정이 실제 전염 확산을 과대평가할 수 있음을 시사한다.

상세 분석

본 논문은 연속시간 마코프 SIS 모델을 기반으로, 각 링크의 감염률 βij를 i.i.d. 확률 변수로 설정하고, 평균 β̄=1로 정규화한 뒤 분산 v와 고차 모멘트가 전염 역학에 미치는 영향을 정량적으로 분석한다. 먼저, 로그정규(μ,σ)와 감마(k,θ) 분포는 평균을 고정하면서 분산을 넓게 조절할 수 있는 대표적인 비대칭 분포이며, SP(대칭 다항식) 분포는 평균 1, 분산 v를 자유롭게 변형할 수 있는 대칭 형태를 제공한다. 시뮬레이션은 N=10⁴, 평균 차수 ⟨k⟩=4인 ER 및 스케일프리(SF) 네트워크에서 1000번 반복 수행했으며, 연속시간 Gillespie‑type 알고리즘을 사용해 정확한 전이 시간을 구현했다.

결과는 크게 두 가지 회복률 구간으로 나뉜다. (1) 작은 회복률 δ (예: δ=0.2, 0.5)에서는 전염이 메타스테이블 상태에 머무르며, v가 증가할수록 평균 감염 비율 y∞는 일관되게 감소한다. 특히, 짝수 차 모멘트 ν₂, ν₄ 등이 클수록 y∞ 감소폭이 크게 나타나며, 이는 감염률 분포의 꼬리가 두꺼워질수록 높은 β값을 가진 링크가 소수 존재하지만 전체 네트워크에 걸친 평균 전파 효율은 낮아지는 현상으로 해석된다. 반면, 홀수 차 모멘트(ν₃, ν₅ 등)는 y∞를 약간 상승시키는 반대 효과를 보이며, 이는 비대칭 분포에서 평균보다 큰 β가 더 많이 존재할 경우 전염 초기 확산 속도가 가속화되기 때문이다. (2) 큰 회복률 δ (예: δ≈τc)에서는 동질 모델이 전염 소멸을 보이지만, 이질 모델에서는 분산이 큰 경우 전염이 살아남을 확률이 유의하게 증가한다. 이는 높은 β를 가진 소수의 링크가 “전염의 다리” 역할을 하여, 전체 네트워크가 임계값 이하라도 국소적으로 전염이 지속될 수 있음을 의미한다.

수학적으로는 감염 확률 ρ(T)=∫₀^∞ f_B(β)