연속 토너먼트에서 왕의 존재와 공간적 조건

초록

본 논문은 유한 토너먼트에서 왕이 존재한다는 랜다우의 정리를 연속 토너먼트로 확장한다. 플레이어 집합 X가 콤팩트 하우스도르프 공간이면 모든 연속 토너먼트에 왕이 존재한다는 것을 증명하고, 반대로 X가 제로 차원·국소 연결·유사컴팩트·선형 순서 중 하나라도 만족하고 모든 연속 토너먼트가 왕을 갖는다면 X는 반드시 콤팩트해야 함을 보인다. 또한, 콤팩트성의 완전한 역은 불가능함을 보여 주기 위해, 단위 정사각형의 조밀한 연결 부분공간 Y가 정확히 두 개의 연속 토너먼트를 가지며 각각 왕을 갖지만 Y는 비분석적이며 비콤팩트임을 예시한다.

상세 분석

논문은 먼저 토너먼트라는 개념을 연속적인 환경으로 일반화한다. 전통적인 유한 토너먼트는 정점 집합이 유한하고 모든 쌍에 대해 방향이 정해진 완전 그래프이며, 랜다우는 이러한 그래프에서 최소 두 단계 이내에 모든 정점에 도달할 수 있는 ‘왕’이 존재함을 증명했다. 저자는 이 정리를 X가 콤팩트 하우스도르프 공간인 경우로 확장한다. 여기서 연속 토너먼트는 X×X→{0,1}의 연속 함수이며, (x,y)에서 1이면 x가 y를 이긴다, 반대는 0이다. 콤팩트성은 연속성으로 인해 최대값 정리와 같은 위상수학적 도구를 적용할 수 있게 해 주어, 임의의 연속 토너먼트 T에 대해 최소한 하나의 왕이 존재함을 보인다. 증명은 먼저 각 점에 대한 ‘우승자 집합’과 ‘우승자 집합의 폐포’를 정의하고, 콤팩트성으로부터 이들의 교집합이 비공집임을 이용한다. 교집합에 속한 점은 모든 다른 점에 대해 2단계 이내에 도달할 수 있으므로 왕이 된다.

다음으로 부분 역을 탐구한다. X가 Tychonoff 공간이며 제로 차원, 국소 연결, 유사컴팩트, 혹은 선형 순서와 같은 추가적인 위상적 성질을 만족할 때, “모든 연속 토너먼트가 왕을 가진다”는 가정이 X의 콤팩트성을 강제한다는 것을 보인다. 여기서는 각각의 경우에 맞는 반증 구조를 만든다. 예를 들어, 제로 차원 공간에서는 열린-닫힌 분할을 이용해 비콤팩트한 경우에 왕이 존재하지 않는 토너먼트를 구성한다. 국소 연결 경우에는 연결 성분을 이용해 무한히 멀리 떨어진 점들을 만들고, 유사컴팩트 경우에는 무한한 열린 피복을 구성해 모순을 이끌어낸다. 선형 순서 경우에는 순서형 토너먼트를 정의하고, 비콤팩트하면 상한/하한이 존재하지 않아 왕이 없음을 보인다.

마지막으로 완전한 역이 불가능함을 보여주는 반례를 제시한다. 저자는 단위 정사각형