기하학적 도형을 활용한 암호화 기법 연구

초록

본 논문은 알파벳 문자를 평면상의 좌표점으로 매핑하고, 인접 좌표를 연결한 직선 혹은 타원 등 기하학적 객체를 이용해 암호문을 생성하는 방식을 제안한다. 좌표쌍을 직선 방정식의 계수(a, b) 혹은 일반형(Ax+By+C=0)으로 변환해 전송함으로써 기존 대칭 암호에 비선형성을 부여한다. 그러나 계수 배열이 원문 길이와 거의 동일하거나 더 길어지는 등 효율성·실용성에 한계가 있다.

상세 분석

논문은 먼저 표준 알파벳을 1~26의 자연수로 매핑하고, 각 문자에 해당하는 숫자를 (x, y) 좌표쌍으로 변환한다. 예시로 “I LOVE MY MOTHER”를 16개의 y값 시퀀스로 표현하고, 이를 순차적으로 직선에 연결한다. 직선 방정식 y = ax + b 를 이용해 인접 좌표쌍을 계수 a와 b 로 변환하고, 이 계수들을 암호문으로 전송한다.

핵심 아이디어는 “좌표 → 직선 → 계수”라는 3단계 변환을 통해 평문과 암호문 사이에 비선형 관계를 만든다는 점이다. 그러나 실제 구현에서는 다음과 같은 문제점이 드러난다.

1. 데이터 부피 증가: 원문 N개의 문자에 대해 N개의 직선을 생성하면, 각각 두 개의 실수 계수(a, b) 혹은 세 개의 정수(A, B, C)를 전송해야 한다. 이는 원문 길이와 거의 동일하거나 더 큰 전송량을 요구한다.
2. 중복 정보: 같은 좌표가 여러 직선에 포함될 경우, 동일한 y값이 여러 번 사용되어 정보가 중복된다. 이는 암호문 분석을 어렵게 만들기도 하지만, 효율성 측면에서는 손실이다.
3. 정밀도와 오류 전파: 실수 계수를 전송할 경우 소수점 이하 자리수에 따라 복호화 오류가 발생한다. 논문에서는 정수형 일반형 Ax+By+C=0 로 변환해 이를 완화하려 했지만, 여전히 좌표 복원 과정에서 오차가 누적될 위험이 있다.
4. 보안성 평가 부재: 제안된 기하학적 변환이 실제 암호학적 강도를 제공하는지에 대한 정량적 분석이 부족하다. 특히, 계수 배열만을 알면 원래 좌표열을 역산할 수 있는 가능성이 존재한다.
5. 다양한 기하학적 객체 활용: 직선 외에 타원(y² = x³ + ax + b)이나 고차 다항식(Lagrange 보간) 등을 제안했지만, 계산 복잡도와 구현 난이도가 급격히 상승한다. 특히 다항식 계수를 이용한 방법은 정수 좌표 복원을 위한 반올림 규칙이 모호해 실용성이 떨어진다.

논문은 또한 “최소 차원 p = ⌊N/3⌋”이라는 정리를 제시해, 좌표를 p‑차원 공간에 매핑하면 최소 3개의 점이 필요함을 보인다. 이는 이론적 흥미는 있으나, 실제 암호 설계에 적용하기엔 구체적인 알고리즘이 제시되지 않아 활용도가 낮다.

전반적으로, 기하학적 객체를 이용한 암호화는 새로운 시각을 제공하지만, 데이터 효율성, 오류 관리, 보안성 검증 측면에서 실용적인 한계가 명확하다. 향후 연구에서는 계수 압축, 난수성 강화, 그리고 기존 대칭 암호와의 혼합 설계가 필요할 것으로 보인다.