비협력 미분 게임의 내시 균형 수치 근사 방법

초록

본 논문은 무한 시간 지평을 갖는 비협력 다중 플레이어 미분 게임을 대상으로, 동적 프로그래밍 원리를 이용한 반라그랑지 스키마와 전역 고정점 반복을 결합한 수치 해법을 제시한다. 2인 게임을 1·2 차원에서 실험적으로 구현하여 내시 균형 근사값을 계산하고, 알고리즘의 수렴성 및 근사 특성을 논의한다.

상세 분석

논문은 먼저 비협력 비제로합 다중 플레이어 미분 게임의 가치 함수가 무한 지평에서 지수 할인 비용을 가정할 때, 각각의 플레이어 i에 대해 λ_i u_i(x)=H_i(x,∇u_1,…,∇u_m) 형태의 연쇄된 1차 Hamilton‑Jacobi 방정식 시스템을 만족한다는 기존 이론을 요약한다. 여기서 H_i는 각 플레이어의 최적 제어 a_i^*(x,∇u)와 다른 플레이어들의 최적 제어가 결합된 형태이며, 최소화 연산이 제어 공간 A_i에 대해 수행된다.

수치 해법의 핵심은 반라그랑지(semilagrangian) 스키마를 도입해 시간 스텝 h를 가상의 이산 시간으로 해석하고, 상태 공간을 균일 격자 Δx로 이산화한다. 격자점 x_j에서 전진된 위치 z=x_j+h f(x_j,a) 가 격자에 정확히 일치하지 않을 경우, 선형 보간 행렬 Λ(a) 를 정의하여 인접 셀의 값들을 가중합한다. 이때 h는 ‖f‖_∞에 비례하도록 선택해 보간 오류를 최소화한다.

완전 이산화된 시스템은
U_i(j)=min_{a_i∈A_i^#}