외부 잡음이 유전자 회로에 미치는 파동과 정량적 해석

초록

본 논문은 유전자 발현 모티프에 외부(Extrinsic) 잡음이 미치는 영향을 정량적으로 분석하는 새로운 이론적 틀을 제시한다. 제한된 외부 잡음을 보조 종으로 도입해 마스터 방정식에 포함시키고, WKB 및 Hamilton‑Jacobi 접근법을 이용해 백색(짧은 상관시간)과 아디아베틱(긴 상관시간) 두 극한에서 확률분포와 분산을 정확히 계산한다. 비조절 유전자, 자기 억제 및 자기 활성 유전자 세 가지 기본 회로에 적용해, 외부 잡음이 분산을 크게 확대하고 꼬리 형태를 파워‑법칙으로 바꾸는 등 다양한 동역학적 변화를 야기함을 보인다.

상세 분석

논문은 먼저 기존의 내재 잡음(intrinsic noise, IN)만을 고려한 단순 유전자 발현 모델을 마스터 방정식 형태로 정리하고, 대수적 해와 WKB 근사를 통해 확률분포와 분산을 구한다. 이후 외부 잡음(extrinsic noise, EN)을 하나 이상의 파라미터가 시간에 따라 변동하는 형태로 도입한다. 특히 분해능이 높은 음이항(negative‑binomial) 분포를 갖는 보조 종을 설계해, 이 보조 종의 복제수 k가 EN 변수 ξ와 직접적으로 연결되도록 한다. 보조 mRNA‑단백질 회로를 이용해 ξ의 평균 1, 분산 σ²_ex, 상관시간 τ_c 를 정확히 구현한다.

마스터 방정식에 보조 종을 포함하면 3차원 확률공간(P_n,m,k)으로 확장되지만, 짧은 mRNA 수명을 가정해 m 차원을 adiabatic하게 제거하고, 단백질과 보조 단백질 두 변수만 남긴다. 이때 Hamiltonian H(x,p_x, \tilde ξ,p_{\tilde ξ})를 도출하고, 두 극한에 대해 해를 구한다.

1. 백색 EN(τ_c → 0): 짧은 상관시간을 가진 EN는 효과적인 백색 잡음으로 축소된다. Hamilton‑Jacobi 방정식에서 p_x를 구하면 식 (9)와 같이 로그 형태가 나오며, 이를 적분해 액션 S(x)를 얻는다. 분산은 식 (10)으로, 기존 IN에 비해 1 + x* V τ_c (V = N σ²_ex) 배만큼 확대된다. 이는 EN 강도가 클수록, 그리고 평균 단백질 수 x*가 클수록 변동이 크게 증가함을 의미한다.

2. 아디아베틱 EN(τ_c → ∞): EN가 거의 정적이라고 가정하면 전체 확률분포는 ξ에 대한 조건부 분포 P(n|ξ)와 ξ 자체 분포 P(ξ)의 곱을 적분해 얻는다. γ‑분포(또는 큰 K에서의 음이항 근사)를 사용해 P(ξ)를 표현하고, 정상점 근사(saddle‑point)로 최적 ξ를 찾는다. 결과적으로 식 (14)와 같이 분산이 1 + V x/