표면 위 닫힌 곡선의 교차점 최소화와 위켄 성질의 파괴

초록

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본 논문은 표면 위 두 닫힌 곡선(또는 하나의 곡선)의 교차점 수를 동형변형(동형동등) 하에 최소화하는 문제를 Nielsen 이론과 Reidemeister 수를 이용해 완전히 해결한다. Nielsen 클래스와 그 지수(index)를 정의하고, 모든 비자명 클래스의 지수가 ±1, Jezierski 반지수가 1임을 보이며, 일부 경우에 Wecken 성질(최소 교차점 수가 Nielsen 수와 일치함)이 성립하지 않음을 증명한다. 또한 자기교차 문제에 대한 유사한 결과를 제시한다.

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상세 분석

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이 연구는 두 단계로 전개된다. 첫 번째 단계에서는 두 연속 사상 (f_{1}:X_{1}\to Y)와 (f_{2}:X_{2}\to Y) 사이의 교차점 집합 (\operatorname{int}(f_{1},f_{2}))를 Nielsen 클래스로 분류한다. 두 교차점 ((x_{1},x_{2}))와 ((x’{1},x’{2}))가 같은 Nielsen 클래스에 속한다는 것은 (X_{1},X_{2}) 내에 경로 (\alpha_{i})가 존재해 (\alpha_{i}(0)=x_{i},\alpha_{i}(1)=x’{i})이며, (f{1}\circ\alpha_{1})와 (f_{2}\circ\alpha_{2})가 경계에서 동형동등((\simeq_{\partial}))임을 의미한다. 각 클래스에 대해 교차점 지수 (\operatorname{ind}(x_{1},x_{2}))를 정의하고, 이는 고립된 교차점이 존재할 때 그 주변을 표준 구형으로 동형시켜 얻는 맵 (\Gamma:S^{n-1}\to S^{n-1})의 차수와 일치한다. 지수가 0이 아닌 클래스를 본질적(Nielsen essential) 클래스로 부른다. 본질적 클래스의 개수를 (NI