불가리아 도시 인구 규모에 대한 두 가설 검증: 성장 의존성 vs. 이중 파레토 로그정규 모델

초록

본 연구는 불가리아 도시 인구 데이터를 이용해 (1) 규모에 무관한 성장이라는 Gibrat‑Zipf 가설과 (2) 초기 인구가 로그정규 분포하고 이후 Yule‑형 확률 과정에 따라 성장한다는 가설을 검증한다. 결과는 성장률이 도시 규모에 의존함을 보여 가설 1을 기각하고, 도시 규모 분포가 이중 파레토‑로그정규 분포에 잘 맞음으로 가설 2를 지지한다는 것이다.

상세 분석

논문은 2004년부터 2011년까지 불가리아 전역 308개 시·군의 연간 인구통계를 활용한다. 먼저 가설 1을 검증하기 위해 각 도시의 ‘재조정 크기’ S_i(t)=N_i(t)/N(t) 를 정의하고, 이를 크기 순위 r와 로그‑선형 관계 ln r=α−β ln S 로 표현한다. 데이터 분석 결과, 도시들을 규모에 따라 네 개의 클래스로 구분했을 때(대도시, 중도시, 소도시, 초소도시) 클래스 1·2·4는 직선(β≈1)으로 잘 근사되지만, 클래스 3(중간 규모)에서는 2차 항을 포함한 이차식이 필요했다. 이는 전체 시스템이 단일 파레토 법칙을 따르지 않으며, 성장률이 규모에 따라 달라진다는 직접적인 증거다.

다음으로 파레토 누적분포 P(S>x)를 조사했을 때, 전통적인 파레토 지수 ζ가 일정하지 않고, 특히 소도시 구간에서 크게 변동함을 확인했다. 저자들은 erf 함수를 이용한 식 (5) 로 경험적 분포를 피팅하고, 이를 통해 지역 파레토 지수 ζ(x) 를 식 (8) 로 추정하였다. 결과는 ζ≈1(Zipf 값)이 대도시 구간에서만 유지되고, 소도시에서는 0.4~0.7 수준으로 크게 낮아지는 등, 성장률이 규모에 의존함을 명확히 보여준다.

가설 2 검증을 위해서는 ‘재조정되지 않은’ 인구 규모 x 자체의 분포를 이중 파레토‑로그정규 분포(p(x) 식 (9)) 로 피팅하였다. 2004년과 2011년 두 시점 모두에서 피팅 결과가 매우 우수했으며, 파라미터 α≈0.8(소도시 꼬리), β≈3(대도시 꼬리) 로 추정되었다. 이는 초기 인구가 로그정규 분포하고, 이후 Yule‑형 확률 과정(기하 브라운 운동)으로 성장한다는 가설과 일치한다.

결론적으로, 불가리아 도시 시스템은 규모에 의존적인 성장 메커니즘을 보이며, 전통적인 Gibrat‑Zipf 모델은 적용하기 어렵다. 반면, Yule‑형 확률 과정 기반의 이중 파레토‑로그정규 모델은 관측된 인구 분포를 정확히 재현한다. 이는 다른 국가의 도시 시스템을 분석할 때도 초기 로그정규 분포와 규모‑의존 성장 과정을 고려해야 함을 시사한다.