오그덴 초탄성 모델의 장축 압축 비대칭 제어와 연부 조직 적용

초록

본 논문은 오그덴 초탄성 모델에서 장축‑압축 비대칭을 비선형성 정도와 독립적으로 제어할 수 없는 문제를 지적하고, 양성·음성 계수를 혼합한 하이브리드 형태를 제안한다. 제어 파라미터 q 를 도입해 비대칭을 별도로 조정하며, q=0.5 일 때는 바잔트 변형률을 이용한 완전 대칭 형태가 얻어진다. 이를 근거 조직과 섬유 강화 구조의 역할을 분리해 분석하는 근골격 근육 모델에 적용하고, 구현 코드와 피팅 절차를 공개하였다.

상세 분석

오그덴 초탄성 모델은 μ 와 α 계수를 이용해 다양한 비선형 거동을 기술하지만, 기존 구현에서는 모든 계수를 양수 혹은 음수로만 선택하면 장축‑압축 비대칭이 발생한다. 이때 비대칭 정도는 α 계수의 절대값에 의해 결정되며, 비선형성(경도 증가율)과 완전히 얽혀 있어 독립적인 조정이 불가능하다. 저자들은 이 한계를 극복하기 위해 “하이브리드” 형태를 도입한다. 구체적으로는 양성 α⁺ 와 음성 α⁻ 계수를 각각 별도 가중치 q 와 1‑q 로 결합해 전체 변형 에너지 함수를 구성한다.

이때 도입된 q 파라미터는 비대칭을 직접 제어한다. q=0 이면 순수 음성 계수만 남아 압축에 강한 거동을, q=1 이면 순수 양성 계수만 남아 장축에 강한 거동을 나타낸다. 특히 q=0.5 일 경우, 양·음 계수가 동일 비율로 혼합되어 에너지 함수가 λ와 1/λ에 대해 완전 대칭을 만족한다. 이는 바잔트(Bažant) 변형률 텐서에 해당하며, Ψ(λ₁,λ₂,λ₃)=Ψ(1/λ₁,1/λ₂,1/λ₃) 라는 관계를 갖는다.

또한 저자들은 이 하이브리드 형태가 기존의 Seth‑Hill 변형률 클래스(비대칭)와 바잔트 변형률 클래스(대칭)를 포괄하는 일반화된 변형률 텐서 군을 정의함을 증명한다. 즉, q 값에 따라 변형률 텐서가 연속적으로 전환되며, 모델링 유연성이 크게 확대된다.

실제 적용 사례로는 골격근 조직의 압축 거동을 모델링하였다. 근육은 기본 매트릭스(대칭)와 섬유 강화(비대칭)로 구성되는데, 제안된 하이브리드 오그덴 모델을 근기저 매트릭스에 적용하고, 섬유 강화는 별도 이방성 강화 모델로 결합하였다. 피팅 과정에서는 실험 압축 데이터에 대해 비선형 최소제곱법을 사용했으며, 파라미터 μ, α⁺, α⁻, q 를 동시에 최적화하였다. 결과는 기존 단일‑계수 오그덴 모델보다 압축‑장축 비대칭을 정확히 재현하면서도 비선형 경도 곡선을 유지함을 보여준다.

코드와 데이터는 공개 저장소에 업로드되어 있어, 다른 연구자들이 손쉽게 재현하고 확장할 수 있다. 이 접근법은 연부 조직 모델링뿐 아니라, 고분자 복합재, 생체재료 등 비대칭 거동이 중요한 분야에서도 유용하게 활용될 수 있다.