무작위 그래프 최대 독립집합 탐색의 n제곱 로그 n 복잡도 분석

초록

본 논문은 Gₙ,ₚ 모델에서 무작위 그래프의 최대 독립집합을 찾는 단순 전수 탐색 알고리즘의 평균 실행 비용을 분석한다. 기대 비용이 n^{c log n} 형태의 비전형적인 성장률을 보이며, 이를 다양한 함수 방정식, q‑차분 방정식, 그리고 파르토그래프 방정식과 연결시킨다. 또한 이상화된 독립 버전 모델에서 비용 분포가 정규분포에 수렴함을 증명한다.

상세 분석

논문은 먼저 최대 독립집합(MIS) 문제를 해결하기 위한 가장 기본적인 전수 탐색 알고리즘을 정의하고, 그 비용을 나타내는 무작위 변수 Xₙ이 재귀식 Xₙ ≡ Xₙ₋₁ + X*_{n‑1‑Binom(n‑1,p)}(n>2) 를 만족한다는 점을 강조한다. 여기서 ‘≡’는 동등분포를 의미한다. 기대값 μₙ=E