상대오차가 평균에 독립적인 베르누이 평균 추정법

본 논문은 베르누이 확률 변수 \(X_i\sim\text{Bern}(p)\)의 평균 \(p\)를 추정하는 새로운 방법을 제시한다. 전통적인 고정표본 평균 \(\hat p_n=S_n/n\)는 샘플 수 \(n\)을 사전에 정해야 하는데, \(p\)가 알려지지 않은 상황에서는 \(\varepsilon\)와 \(\delta\)를 만족하는 적절한 \(n\)을 선택하기 어렵다. 또한, 기존의 Dagum‑Karp‑Luby‑Ross(DKLR) 정지 규칙은 편향이 존재하고, 분석적 상수 \(4(e-2)\approx2.873\)가 실제 복잡도에 불필요하게 큰 영향을 미친다. 이를 극복하기 위해 저자는 포아송 점 과정의 ‘thinning’ 성질을 이용한다. 포아송 점 과정 \(P\)를 레이트 \(\lambda\)로 두고, 각 점을 성공 확률 \(p\)로 독립적으로 보존하면 새로운 점 과정 \(P'\)는 레이트 \(\lambda p\)를 갖는다. 이때 성공 횟수 \(S\)가 목표값 \(k\)에 도달할 때까지의 대기시간 합 \(R\)는 \(\Gamma(k,p)\) 분포를 따른다. 알고리즘은 다음과 같이 동작한다. 1. 변수 \(S\leftarrow0, R\leftarrow0\) 초기화. 2. 반복: 베르누이 표본 \(X\sim\text{Bern}(p)\)와 독립 지수 표본 \(A\sim\text{Exp}(1)\)를 생성. 3. \(S\leftarrow S+X,\; R\leftarrow R+A\). 4. \(S=k\)가 될 때까지 2‑3을 반복. 5. 최종 추정값 \(\hat p=(k-1)/R\) 반환. 이때 \(R\sim\Gamma(k,p)\)이므로 \(\frac{p}{\hat p}= \frac{pR}{k-1}\sim\Gamma(k,k-1)\)가 된다. 따라서 \(\hat p\)는 무편향(\(E