솔로모프 귀납은 니코드 기준을 위반한다

초록

본 논문은 솔로모프 귀납이 니코드 기준(Nicod’s criterion)을 만족하지 않음을 보인다. 즉, 검은 까마귀를 관찰했을 때도 가설 “모든 까마귀는 검은색이다”에 대한 믿음이 감소할 수 있다. 비정규화된 솔로모프 사전에서는 이러한 감소가 무한히 자주 발생하고, 정규화된 사전에서는 유한 번만 발생한다는 정량적 결과를 제시한다.

상세 분석

논문은 먼저 솔로모프 사전 M과 그 정규화 버전 M_norm을 정의하고, 이를 베이즈 업데이트에 적용한다. 가설 H는 “모든 까마귀는 검은색이다”라는 전제이며, 알파벳 X는 네 가지 관측(검은 까마귀, 비검은 까마귀, 검은 비까마귀, 비검은 비까마귀)으로 구성된다. 베이즈 사후 확률 M(H|x₁:t)는 관측 시퀀스 x₁:t에 따라 변한다. 저자는 관측을 다섯 종류의 프로그램 집합(A~E)으로 분류하고, 각각이 사전 확률에 기여하는 양을 A, B, C, D, E라 두었다. Lemma 4는 “관측 x_t가 H를 확인(또는 반증)한다는 조건이 B·C > A·D + D·E (또는 반대)이다”라는 명시적 불등식을 제시한다. 이후 Lemma 6을 통해 A, B는 2^{−K(t)} 수준으로, C는 최소 1, D는 2^{−m(t)} 이하이며 t→∞일 때 D와 E가 0으로 수렴함을 보인다. 여기서 K(t)는 t의 Kolmogorov 복잡도, m(t)는 단조 하한이다. 이러한 경계값을 Lemma 4에 대입하면, 충분히 큰 t에 대해 B·C가 A·D + D·E보다 작아져 사후 확률이 감소함을 알 수 있다. 즉, 검은 까마귀를 관찰했음에도 불구하고 H에 대한 믿음이 감소한다는 것이 증명된다. Theorem 7과 Corollary 12는 구체적인 시간 단계에서의 반증을, Theorem 8과 Corollary 13은 컴퓨터블한 무한 문자열을 관찰할 때 비정규화 사전에서는 무한히 많은 반증이 일어난다고 주장한다. 반면, Theorem 11은 정규화된 사전 M_norm에서는 이러한 반증이 유한 번에 불과함을 보인다. 결과는 선택한 유니버설 튜링 머신에 독립적이며, 솔로모프 귀납이 확률적 수렴(Blackwell‑Dubins 정리)에는 성공하지만, 니코드 기준이라는 논리적 확인 기준에는 실패한다는 점을 강조한다. 저자는 이 모순이 니코드 기준 자체의 문제라며, 이를 포기하고 솔로모프 귀납을 그대로 받아들여야 한다고 주장한다.