제한식 표현과 그 미분

초록

이 논문은 정규식에 논리식 결합 연산자를 추가한 제한식 표현을 정의하고 해석과 실현에 따라 언어의 정규성 여부를 분석한다 또한 부분 미분을 확장해 회원 검사 알고리즘을 제시하고 해석 고정 시 결정 불가능성을 보인다

상세 분석

제한식 표현은 기존 정규식에 두 개의 새로운 연산자를 도입한다 첫 번째 연산자는 식 뒤에 논리식 을 붙여 논리식 이 참일 때만 원래 언어를 허용하고 거짓이면 공집합을 반환한다 두 번째 연산자는 단어 앞에 배치하여 해당 단어가 표현식이 정의하는 언어에 속하면 그 단어를 결과로 내보내고 그렇지 않으면 공집합을 반환한다 이러한 연산자는 제로 차수 논리 즉 양화자가 없는 논리식을 사용한다 따라서 함수 기호와 술어 기호 그리고 변수 집합을 통해 복잡한 관계를 표현할 수 있다 예를 들어 세 개의 변수에 대해 같은 길이를 요구하는 술어를 사용하면 a^n b^n c^n 형태의 언어를 기술할 수 있다 이는 정규 언어를 넘어서는 표현력이다 논문은 해석과 실현을 명시적으로 정의한다 해석은 도메인과 함수·술어에 대한 의미 부여를 의미하고 실현은 변수에 구체적인 값들을 할당하는 과정이다 두 요소가 모두 고정될 때 제한식이 정의하는 언어는 유한 상태 기계로 인식 가능하므로 정규 언어임을 증명한다 반면 해석이나 실현 중 하나라도 자유롭게 변하면 언어는 비정규가 될 수 있다 특히 해석이 고정된 경우에도 실현에 따라 논리식의 만족 여부가 결정되므로 회원 검사는 논리식 만족 문제와 동치가 된다 이때 부분 미분을 확장한 연산을 이용해 입력 단어를 차례로 소거하면서 남은 식이 공집합을 포함하는지 검사한다 이 과정은 기존 정규식의 파셜 디리베이티브와 유사하지만 논리식과 변수 바인딩을 함께 처리하도록 설계되었다 논문은 또한 해석이 고정된 상황에서 논리식이 충분히 복잡하면 회원 검사가 튜링 완전성을 갖는 문제와 귀결될 수 있음을 보인다 즉 해석이 고정되면 회원 검사는 결정 불가능할 수 있다 반대로 해석이 자유로운 경우에는 논리식 만족 문제가 일반적으로 반정규이므로 결정 가능성을 확보한다 이러한 결과는 제한식 표현이 정규식의 확장으로서 강력하지만 사용 시 해석 선택에 따라 계산 복잡도가 크게 달라짐을 시사한다