유한 길이 AR(1) 과정의 초기조건과 과도 현상 분석

초록

본 논문은 1차 자기회귀(AR(1)) 과정을 무한 길이와 유한 길이로 구분하여, 유한 시계열에서 첫 번째 관측값의 분포가 전체 과정의 정상분산과 일치해야 과도 현상이 사라진다는 점을 증명한다. 특히 직렬상관계수(φ)가 크게 작용할 때 초기조건 선택이 시뮬레이션 결과에 미치는 영향을 정량적으로 제시한다.

상세 분석

AR(1) 과정은 X_t = φ X_{t‑1} + ε_t (|φ|<1) 로 정의되며, ε_t는 평균 0, 분산 σ_ε²인 백색 잡음이다. 무한히 긴 시계열에서는 초기값이 사라져 정상분산 σ_X² = σ_ε²/(1‑φ²) 로 수렴한다. 그러나 유한 길이 N을 갖는 경우, X_1은 별도의 확률분포를 지정해야 하는데, 이 선택이 전체 시계열의 통계적 특성에 직접적인 영향을 미친다. 논문은 X_1을 σ_X와 동일한 표준편차를 갖는 정규분포 N(0,σ_X²) 로 설정하면, 모든 t에 대해 E