현실 세계 상호작용 네트워크의 비전형적 스케일링 현상

본 논문은 복잡계 네트워크 연구에서 오랫동안 간과되어 온 현상, 즉 정점 수는 크게 변하지 않거나 신규 정점이 거의 추가되지 않은 상황에서도 엣지가 지속적으로 증가하는 네트워크에서 나타나는 1<γ<2 구간의 파워‑러프 차수 분포를 집중적으로 탐구한다. 서론에서는 기존 문헌이 주로 γ>2인 경우에 초점을 맞추어 왔으며, 이는 정점 성장과 선호 연결(Preferential Attachment) 메커니즘으로 설명된다고 밝힌다. 그러나 실제 사회·통신·협업 네트워크를 조사한 결과, 배우 협업, Enron 이메일, 위키피디아 투표, 페이스북 사회 서클 등 네 가지 사례 모두 차수 분포의 기울기가 −γ이며 γ가 1과 2 사이에 위치함을 확인한다. 이는 기존 모델이 설명하지 못하는 비정형적 스케일링이다. 이러한 현상을 설명하기 위해 저자들은 두 파라미터 α와 θ(0<α<1, θ>−α)를 갖는 새로운 생성 모델을 제안한다. 모델은 시간 t=1,2,…,n에 걸쳐 매 단계마다 하나의 엣지를 추가한다. 엣지의 두 종단점 v₁(t), v₂(t)는 현재 네트워크에 존재하는 정점들의 차수 D(i,t)와 파라미터 α, θ에 비례하는 확률로 선택된다. 구체적으로 기존 정점 i는 (D(i,t)−α) 비례, 새로운 정점은 (θ+α) 비례로 선택된다. 이 과정은 정점이 새로 등장할 확률을 θ에, 기존 정점이 추가 엣지를 획득할 확률을 α에 직접 연결시켜, 결과적으로 파워‑러프 지수 γ가 α+1이 된다. 수학적 분석에서는 (2)식으로 정점 수의 기대값 E