곡률을 품은 퍼리다이내믹: 얇은 탄성 쉘을 위한 새로운 표면 기반 모델

초록

본 논문은 곡률이 있는 얇은 탄성 쉘을 2차원 표면 기반 퍼리다이내믹(peridynamic) 이론으로 기술한다. 곡선 결합(curved bond) 개념을 도입해 입자 간 힘·모멘트 전달을 구현하고, 3차원 상태 기반 퍼리다이내믹 방정식을 두께 적분을 통해 표면 형태로 축소한다. 구형·원통형 쉘 및 평판에 대한 정적 변형 해석을 통해 모델의 정확성을 검증한다.

상세 분석

이 연구는 기존 퍼리다이내믹(PD) 이론이 3차원 전체 체적에 적용돼 계산 비용이 크게 증가하는 문제를 인식하고, 얇은 구조물—특히 곡률을 가진 쉘—에 특화된 2차원 표면 기반 모델을 제안한다. 핵심 혁신은 ‘곡선 결합(curved bond)’이라는 새로운 개념이다. 전통적인 PD에서는 두 입자를 직선으로 연결하는 결합을 가정했지만, 쉘의 경우 두께 방향이 작고 표면이 곡률을 가지므로 직선 결합이 실제 변형 메커니즘을 제대로 포착하지 못한다. 저자들은 곡면 위의 최소 거리(geodesic)를 따라 결합을 정의하고, 이 결합 길이를 제한함으로써 유한한 ‘시야(horizon)’를 설정한다.

수학적으로는 3차원 상태 기반 PD의 힘 상태 T와 변형 상태 Y를 두께 방향으로 적분해 표면 힘 상태와 모멘트 상태를 도출한다. 이 과정에서 비정형(state‑based) PD의 장점인 비중심력(non‑central force)과 포아송 비율 제한 해소를 유지한다. 또한, 비국소 변형 그라디언트 F와 형태 텐서 K를 정의해 고전적인 탄성 이론과의 대응(correspondence)을 구현한다. 이를 통해 라메 파라미터(λ, μ)와 쉘 두께 h를 포함한 전통적인 쉘 이론의 응력‑변형 관계를 그대로 활용할 수 있다.

에너지 균형식으로부터 쉘의 표면 변형 텐서(γ)와 회전(θ) 텐서(κ)를 도출하고, 이들을 내부 힘·모멘트와 연결시켜 선형 및 각운동량 보존을 만족하는 완전한 방정식 체계를 만든다. 결과적으로 얻어진 쉘 운동 방정식은

ρ h ü = ∇·S + q, ∇·M + S×n = m

와 같은 형태이며, 여기서 S와 M은 각각 표면 응력·모멘트 텐서, q와 m은 면당 외력·모멘트이다.

수치 검증에서는 구형 쉘, 원통형 쉘, 평판에 대해 정적 압축/굽힘 하중을 가하고, 전통적인 유한요소(FEM) 해와 비교했다. 곡률이 큰 경우에도 오차가 미미하게 유지되며, 특히 곡선 결합을 사용했을 때 전통적인 직선 결합 기반 모델보다 정확도가 크게 향상된다.

이 논문은 퍼리다이내믹을 쉘 구조에 적용하기 위한 이론적 토대를 제공함과 동시에, 곡률 효과와 두께 적분을 자연스럽게 결합한 새로운 수치 모델을 제시한다는 점에서 학술적·실용적 의의가 크다. 향후 비선형·동적 파괴, 다중 물리 현상(예: 열‑기계 연성)까지 확장할 가능성을 열어준다.