비선형 기하학화가 초래하는 비물리적 불안정성

본 연구는 동역학을 기하학적으로 재구성하는 두 가지 주요 방법, 즉 Jacobi 계량과 Eisenhart 계량을 체계적으로 비교·분석한다. 먼저, Hamiltonian 시스템의 안정성을 Lyapunov 지수 λ로 정의하고, 전통적인 접선 동역학(선형화된 변분 방정식)과 기하학적 접근법 사이의 관계를 정리한다. Eisenhart 계량은 N+2 차원의 확대된 구성공간에 정의되며, ds² = -2V(q)dt² + a_{ij}dq^i dq^j + 2dt dq^{N+1} 형태를 가진다. 이 경우 지오데식 길이 ds는 시간 dt와 정비례( ds = κ dt )하므로, 일정 시간 구간에 대한 변분은 곧 일정 지오데식 길이 변분과 동등해진다. 따라서 Jacobi-Levi-Civita(JLC) 방정식으로부터 얻어지는 지오데식 스프레드 ξ_G는 접선 동역학의 변분 ξ_T와 동일한 진화 방정식을 만족하고, 결과적으로 λ_G = λ가 된다. 이는 Eisenhart 계량이 물리적 시간 흐름과 완벽히 일치하는 아핀 파라메터화를 제공한다는 의미이다. 반면 Jacobi 계량은 g_{ij}^J = 2