지진 규모 극값 이론에 대한 비판적 고찰

초록

본 논문은 Pisarenko 등(2014)의 지진 규모 극값 분석에서 사용된 일반극값분포(GEVD)와 일반극대분포(GPD)의 적용 한계를 지적한다. 특히 절단 지수분포(TED)와 같은 실제 지진 규모 모델에서는 GEVD·GPD 근사가 비대칭적으로 느리게 수렴하므로, 기존 극값 이론을 그대로 적용하면 상한 규모 추정에 큰 오류가 발생한다. 저자는 이러한 문제점을 설명하고, 상한 규모와 관련 파라미터는 전통적인 통계 방법을 사용해야 함을 주장한다. 또한 지진 발생 과정이 비정상적이거나 비포아송적일 경우에도 GPD·GEVD가 적용 가능함을 논의한다.

상세 요약

Pisarenko et al.(2014)는 지진 규모 데이터를 블록 최대값과 초과값 두 관점에서 각각 GEVD와 GPD로 모델링하고, 이를 결합해 상한 규모(Mmax)를 추정하려 했다. 그러나 이 접근법은 두 가지 근본적인 가정을 전제로 한다. 첫째, GEVD와 GPD는 각각 블록 최대값과 초과값에 대한 극한 분포이며, 실제 데이터에 적용하려면 충분히 큰 블록 혹은 높은 임계값을 선택해야 한다는 점이다. 둘째, 대상 변수의 원본 분포가 정규형태(예: 지수분포, 파레토분포 등)와 같이 꼬리가 충분히 두꺼워야 극한 이론이 빠르게 수렴한다는 전제다.

지진 규모는 일반적으로 절단 지수분포(TED) 로 모델링된다. TED는 지수분포에 상한값(Mmax)을 강제로 끊어 놓은 형태로, 꼬리가 급격히 사라진다. 이 경우 GPD의 형태 파라미터 ξ는 0에 가깝지만, 실제 수렴 속도는 매우 느리다. 즉, 임계값을 어느 정도 높여도 초과값이 충분히 많지 않아 GPD 근사가 불안정하고, 블록 크기를 크게 잡아도 GEVD 파라미터 추정이 편향된다. 저자는 이 점을 수치 실험과 이론적 근사를 통해 보여준다.

또한 Pisarenko et al.은 지진 발생 과정을 동질 포아송 과정이라고 가정했지만, 실제 지진은 시간적 클러스터링, 비정상성, 그리고 응력 재분배 등에 의해 비포아송적 특성을 보인다. 이러한 비정상성은 초과값의 독립성 가정을 깨뜨리며, GPD 적용에 추가적인 오류를 야기한다. 반면, 저자는 비동질 포아송 과정이나 마코프 전이 과정 등에서도 GPD·GEVD가 근사적으로 적용될 수 있음을, 단지 파라미터 추정 방법을 조정하면 된다고 주장한다.

결론적으로, 절단 지수분포를 따르는 지진 규모에 대해서는 전통적인 최대우도법(MLE), 베이즈 추정, 혹은 순위 기반 방법을 이용해 Mmax와 β(감쇠 계수)를 직접 추정하는 것이 더 신뢰성 있다. GPD·GEVD는 보조적인 검증 도구로 활용하되, 그 결과를 그대로 신뢰해서는 안 된다.