가우시안 무작위 행렬의 조건수 분포에서 나타나는 위상 전이

본 논문은 N×M( M>N ) 가우시안 무작위 행렬 A의 조건수 κ=λ_max/λ_min(λ_i는 A Aᵀ의 양의 고유값) 의 확률분포를 대규모 N 한계에서 정확히 구한다. 연구는 다음과 같은 흐름으로 전개된다. 1. **문제 설정 및 기존 연구** - 조건수는 수치 해석에서 시스템의 안정성을 평가하는 핵심 지표이며, 랜덤 행렬 모델링을 통해 평균값 ⟨κ⟩와 변동성을 추정해 왔다. - Edelman 등은 작은 차원(N=2) 혹은 N→∞ 한계에서 √κ의 분포를 구했지만, 전형적이지 않은 큰 편차(κ≫⟨κ⟩ 혹은 κ≈1) 에 대한 정확한 결과는 부족했다. 2. **쿠울롱 유체 해석 프레임워크** - Wishart 행렬 W=AAᵀ의 고유값 공동확률밀도 Pβ(λ₁,…,λ_N) 를 2‑차원 전하 입자들의 Coulomb gas 로 해석한다. - 에너지 함수 E