다층 그래프를 활용한 동적 소셜 네트워크 분석: 잠재 변수와 파레토 최적화 접근

본 논문은 현대 소셜 네트워크가 제공하는 다중 유형의 연결 정보를 하나의 통합된 분석 프레임워크로 다루기 위해, **다층 그래프**와 **잠재 변수 모델**을 결합한 새로운 방법론을 제시한다. 먼저, 동일한 정점 집합 V를 공유하는 L개의 에지 집합 E₁,…,E_L 로 구성된 다층 그래프 G=(V,E)를 정의하고, 각 층 i에 대해 실제 인접 행렬 A_i와 관측 행렬 W_i를 구분한다. 관측 행렬은 이진 혹은 실수값일 수 있으며, 노이즈가 포함된 형태로 가정한다. **계층적 잠재 변수 모델**에서는 두 층(L=2)만을 고려하여, **선택 변수 Y(또는 Z)** 를 도입한다. 이 변수는 두 층이 공통의 잠재 연결 구조 W와 어떻게 결합되는지를 결정한다. 수식 (1)‑(2)에서 보듯이, Y를 조건부로 두면 \(P(W_1,W_2|A_1,A_2)=\int P(W_1,W_2|A_1,A_2,Y)P(Y|A_1,A_2)dY\) 와 같이 베이지안 모델 평균화 형태로 전개된다. 여기서 Y는 Z∈{1,2} 로 이산화될 수 있으며, 사전 확률 α=P(Z=1) 로 정의한다. **후방 혼합 모델**을 전개하면, 관측된 W₁, W₂에 대한 잠재 변수 W의 사후 분포는 두 층 각각에 대한 사후 확률의 가중합으로 표현된다. 구체적으로, \(P(W|W_1,W_2)=\xi P(W|W_1,W_2,Z=1)+(1-\xi)P(W|W_1,W_2,Z=2)\) 이며, ξ는 Z=1일 사후 확률이다. 사전이 균등하다고 가정하면 MAP 추정은 \(\hat W = \arg\max_W