네트워크에서 백신 개입이 전염병 역학에 미치는 영향

초록

본 연구는 Watts‑Strogatz 소규모 세계망, Barabási‑Albert 및 무작위 스케일프리 네트워크에 불완전 백신을 포함한 SIS 모델을 적용하여, 백신 접종률과 백신 효능이 전염병 임계값과 지속 유병률에 미치는 영향을 분석한다. 소규모 세계망에서는 백신이 선형적으로 유병률을 감소시키며, 스케일프리 네트워크에서는 지수적으로 감소시킨다. 또한, 스케일프리 구조에서는 백신 접종률과 네트워크 차수 분포가 임계값을 결정한다는 점을 밝혀냈다.

상세 분석

본 논문은 전통적인 SIS 모델에 ‘백신(V)’ 상태를 추가한 S‑I‑V‑S 모델을 제안하고, 이를 세 종류의 복합 네트워크 구조에 적용하였다. 모델의 핵심 파라미터는 전염률 α, 회복률 β, 백신 접종률 ϕ, 백신 소실률 φ, 그리고 백신 효능을 나타내는 δ(0<δ≪1)이다. 전염률과 회복률의 비율 λ=α/β와 접종‑소실 비율 η=ϕ/φ를 도입함으로써 네트워크 독립적인 차원less 변수로 정규화하였다.

WS(소규모 세계) 네트워크는 평균 차수 ⟨k⟩=2K로 거의 균일한 차수 분포를 가지며, 평균장 이론(MF) 접근이 정확히 적용된다. 미분 방정식(1a,1b)에서 정적 해를 구하면, 전염병 임계값 λ_c는 η와 δ에 의해
λ_c = (η+1)/(δ η+1)·1/⟨k⟩
으로 표현된다. 이는 백신 접종률이 증가하거나 백신 효능(δ 감소)이 향상될수록 임계값이 상승함을 의미한다. 또한, λ>λ_c일 때는 단일 안정된 전염병 균형(EE)이 존재하고, λ<λ_c에서는 질병이 소멸한다(DFA). 그러나 δ와 η의 조합에 따라 역전파(bistability) 현상이 발생한다. 조건 (8)·(9)에 의해 β·φ·(1−δ)>4이면 두 개의 전염병 균형이 동시에 존재할 수 있다. 이는 백신이 충분히 효과적이면서도 접종률이 중간 수준일 때, 초기 감염 규모에 따라 질병이 소멸하거나 지속될 수 있는 히스테리시스 현상을 초래한다는 중요한 시사점을 제공한다.

스케일프리 네트워크(BA 및 무작위 SF)에서는 차수 분포 P(k)∼k^−γ (γ≈3)가 존재해 고차 연결점(hub)의 영향이 지배적이다. 이 경우 평균장 근사 대신 차수별 평균 전염률 ρ_k를 고려한 이질 평균장(HMF) 방정식을 사용한다. 분석 결과, 임계값은
λ_c ≈ (η+1)/(δ η+1)·⟨k⟩/⟨k^2⟩
으로, ⟨k^2⟩이 발산하는 경우(γ≤3) λ_c→0이 된다. 즉, 백신이 아무리 효과적이어도 네트워크가 충분히 이질적이면 전염병이 언제든지 발생할 수 있다. 그러나 백신 접종률 η와 효능 δ가 충분히 높을 경우, λ_c는 유한한 값으로 상승하고, 전염병 유병률 ρ는
ρ ∼ exp