아벨리안 제곱이 가장 많은 단어

초록

이 논문은 길이 n인 단어가 가질 수 있는 서로 다른 아벨리안 제곱(두 부분이 서로 순열 관계인 문자열)의 최대 개수가 Θ(n²)임을 보이고, 무한 단어 중에서 길이 n인 모든 구간이 평균적으로 Θ(n²)개의 아벨리안 제곱을 포함하도록 하는 “아벨리안‑스퀘어 풍부(ab​elian‑square‑rich)”와 “균등 아벨리안‑스퀘어 풍부(uniformly abelian‑square‑rich)”라는 두 개념을 정의한다. 저자는 대표적인 무한 단어인 투에‑모스(Thue‑Morse)와 β‑파워프리(sturmian) 단어들이 이러한 성질을 만족함을 증명한다.

상세 분석

논문은 먼저 아벨리안 제곱의 정의와 기존 연구에서 알려진 결과들을 정리한다. 일반적인 문자열에서 동일한 블록이 연속으로 두 번 나타나는 ‘스퀘어’와 달리, 아벨리안 스퀘어는 두 블록이 문자 개수만 동일하면 된다. Erdős가 1961년에 제시한 “아벨리안 제곱을 회피하는 무한 문자열 존재”라는 문제는 알파벳 크기가 4 이상이면 가능함이 알려졌으며, 이와는 별개로 한 문자열이 포함할 수 있는 서로 다른 아벨리안 제곱의 수는 Θ(n²)까지 성장할 수 있다. 이는 전체 구간 수가 O(n²)인 것과 같은 차수이므로, 최악의 경우 거의 모든 구간이 아벨리안 제곱이 된다.

이러한 현상을 무한 문자열에 확대하기 위해 저자는 두 가지 풍부성 개념을 도입한다. 첫 번째는 “아벨리안‑스퀘어 풍부(ab​elian‑square‑rich)”로, 충분히 큰 n에 대해 평균적으로 길이 n인 구간당 최소 C·n²개의 서로 다른 아벨리안 제곱이 존재한다는 의미다. 두 번째는 “균등 아벨리안‑스퀘어 풍부(uniformly ab​elian‑square‑rich)”로, 모든 길이 n 구간이 최소 C·n²개의 아벨리안 제곱을 포함한다는 더 강한 조건이다. 선형 재발(linearly recurrent) 성질을 가진 문자열에서는 두 정의가 동등함을 보이는 보조 정리가 제시된다.

구체적인 사례 연구로 투에‑모스 문자열 t를 분석한다. t는 0→01, 1→10이라는 2‑균등 원시 치환의 고정점이며, 겹침이 없는(overlap‑free) 특성을 가진다. 저자는 t의 구간 복잡도 p(n)과 시작·끝 문자 일치 여부를 이용해, 길이 4n 및 4n‑2 구간에 각각 최소 n‑1개의 아벨리안 제곱이 존재함을 증명한다. 이는 길이 n 이하의 아벨리안 제곱 개수가 Θ(n)임을 의미하고, Lemma 1·2와 결합하면 t가 균등 아벨리안‑스퀘어 풍부함을 얻는다.

다음으로 Sturmian 문자열을 다룬다. Sturmian 문자열은 이진 알파벳 위에서 균형(balanced)과 비주기성(ap eriodic)을 동시에 만족하는 무한 문자열이며, 길이 n에 대해 정확히 n+1개의 서로 다른 구간을 가진다. 저자는 회전 코딩(rotation coding) 모델을 이용해 각 구간을 실수 구간 L_i(n)과 연결하고, 구간이 “무거움(heavy)” 혹은 “가벼움(light)”에 따라 Parikh 벡터가 결정된다는 사실을 활용한다. Proposition 4에 따르면, n이 짝수이고 ⌊nα⌋가 짝수(홀수)일 때 L_i(n)이 특정 구간에 포함되면 해당 구간은 아벨리안 제곱이 된다. 따라서 α가 β‑파워프리(β≥2)인 경우, 즉 일정 길이 이상의 거듭 제곱이 존재하지 않는 Sturmian 문자열은 모든 구간에 충분히 많은 아벨리안 제곱을 포함한다는 결론에 도달한다. 이는 Sturmian 문자열이 균등 아벨리안‑스퀘어 풍부함을 의미한다.

전체적으로 논문은 아벨리안 제곱의 최대 개수와 무한 문자열의 구조적 특성을 연결함으로써, 기존에 알려진 “스퀘어 자유” 혹은 “아벨리안 제곱 회피”와는 반대되는 풍부한 반복 현상을 체계적으로 탐구한다. 특히 선형 재발, 균형성, 원시 치환과 같은 전통적인 조합론적 도구들을 활용해 구체적인 무한 문자열 클래스가 어떻게 풍부성을 만족하는지를 명확히 보여준다.