Feller 과정의 최초 통과와 탈출 문제

초록

Feller 과정은 원점에서 확산계수가 0이 되는 선형 드리프트를 가진 양의 일차원 확산이다. 본 논문은 이 과정의 레벨 크로싱, 즉 최초 통과(first‑passage)와 탈출(escape) 확률 밀도와 평균 시간을 정확히 구하고, 경계 조건에 따른 해의 형태와 특성을 체계적으로 분석한다.

상세 분석

Feller 과정은 확률 미분 방정식 (dX_t=\theta(\mu-X_t)dt+\sigma\sqrt{X_t},dW_t) 로 기술되며, 여기서 (\theta,\mu,\sigma>0) 이다. 확산계수 (\sigma\sqrt{X_t}) 가 (X_t=0) 에서 사라지기 때문에 과정은 자연스럽게 양의 영역에 머무른다. 이 특성은 신경 과학에서 뉴런 발화 간격 모델링이나 금융 공학에서 변동성 모델링에 유용하게 활용된다. 그러나 기존 연구는 정규화된 분포, 자기상관, 장기 평균 등 전반적인 통계량에 초점을 맞추었고, 특정 임계값을 처음으로 초과하거나 탈출하는 시간에 대한 정확한 해는 부족했다.

본 논문은 먼저 Kolmogorov 전방 방정식에 대한 경계 조건을 정밀히 설정한다. 흡수 경계(첫 통과)와 반사 경계(탈출) 각각에 대해, 변환 (y=2\theta X/\sigma^2) 를 적용하면 베셀(Bessel) 방정식 형태가 도출된다. 이때 일반해는 수정된 베셀 함수 (I_{\nu}(y)) 와 (K_{\nu}(y)) 로 표현되며, 차수 (\nu=2\theta\mu/\sigma^2-1) 가 중요한 역할을 한다. 특히 (\nu>0) 인 경우는 경계가 자연스럽게 반사되는 반면, (\nu\le 0) 일 때는 원점에서 흡수 현상이 발생한다는 점을 논문은 수학적으로 증명한다.

첫 통과 시간의 확률 밀도 함수(pdf)는 라플라스 변환을 이용해 구해지며, 역변환 과정에서 복소 적분을 통해 급수 전개가 가능함을 보인다. 결과적으로, 임계값 (a>0) 에 대한 첫 통과 pdf는
\