극값 이론 기반 지진 위험 분석을 위한 새로운 지반운동 모델링

초록

본 논문은 확률적 지진 위험도 분석(PSHA)에서 지반운동 관계(GMR)를 확률 함수로 취급하고, 극값 이론을 적용해 면적 등가 원리를 도출한다. 기존의 로그 정규 잔차 가정을 비판하고, 개별 랜덤 성분이 일반화 극값 분포(GEV)를 따른다고 제안한다. 이벤트별 이방성 점원천 모델을 이용해 PEER 데이터베이스를 분석한 결과, 잔차 분산이 기존 모델보다 크게 감소했으며, 면적 함수 검증을 통해 모델의 타당성을 확인하였다.

상세 분석

이 연구는 PSHA에서 사용되는 전통적인 지반운동 관계(GMR)를 “랜덤 함수”라는 새로운 관점으로 재정의한다. 기존 방법은 관측된 최대 가속도(PGA)와 같은 극값을 로그 정규분포를 가정해 회귀분석을 수행하고, 잔차를 독립적인 정규분포로 처리한다. 그러나 극값 이론에 따르면, 최대값들의 분포는 일반화 극값 분포(GEV)로 수렴해야 하며, 이는 로그 정규 가정과 근본적으로 다르다. 저자는 GMR의 면적 함수 A(m) = {(x,y) | GMR(x,y) ≥ m} 를 정의하고, 두 GMR이 동일한 면적 함수를 가질 경우 동일한 지진 위험에 기여한다는 “면적 등가 원리(area‑equivalence)”를 수학적으로 증명한다. 이는 모델링 과정에서 발생하는 지역적 편향(local bias)을 정량화하고, 실제와 모델 간 차이를 랜덤 성분 ε₀ 로 해석함으로써 기존 회귀에서 과대평가되는 잔차 분산을 교정한다.

또한, 저자는 기존 문헌에서 흔히 사용되는 “log‑normal residuals” 가 실제 데이터에 적용될 경우, 분포 검정(예: Kolmogorov‑Smirnov, Anderson‑Darling)에서 일관된 위배를 보이며, 특히 표본 크기가 작을 때는 GEV와 log‑normal이 시각적으로 구분되지 않아 잘못된 가정이 유지될 위험이 있음을 시뮬레이션을 통해 입증한다. 이러한 분포 오판은 PSHA 결과에 비선형적인 과잉 위험을 초래한다.

모델 추정 방법으로는 전통적인 최소제곱 회귀 대신, 이벤트별 GMR을 직접 추정하고, 개별 랜덤 성분의 분산을 회귀‑프리(regression‑free) 방식으로 계산한다. 구체적으로, 각 지진 이벤트에 대해 이방성 점원천(source) 모델을 적용하고, 관측점의 방위각과 거리 정보를 이용해 방향성 감쇠 함수를 파라미터화한다. 이렇게 얻어진 이벤트‑특정 GMR은 기존의 평균‑특성 모델보다 잔차 분산이 현저히 낮으며, 특히 로그화된 PGA에 대한 σ_log가 0.3~0.4 수준으로 감소한다.

마지막으로, 저자는 면적 함수 검증을 위해 가장 표본이 풍부한 이벤트(>2000 관측점)를 선택하고, 추정된 GMR의 등고선 면적을 실제 관측 데이터와 비교한다. 두 면적 함수가 거의 일치함을 확인함으로써, 제안된 면적 등가 원리와 GEV 기반 잔차 모델이 실제 지진 위험도 계산에 유효함을 실증한다. 전체적으로 이 논문은 PSHA에서 GMR을 다루는 통계적 기반을 근본적으로 재구성하고, 극값 이론과 면적 등가 개념을 도입함으로써 모델 편향과 과대분산 문제를 동시에 해결한다는 점에서 학술적·실무적 의의를 가진다.