수평 가시성 그래프를 통한 페게넘버 시나리오의 분석적 특성

초록

수평 가시성(HV) 알고리즘을 이용해 1차원 시계열을 그래프로 변환하면, 비선형 동역학계의 주기-이중화와 밴드-분할 현상이 그래프 구조의 계통적 변화를 통해 드러난다. 본 논문은 페게넘버 시나리오에서 발생하는 무한한 분기와 축적점에 대해, 그래프의 차수 분포, 평균 거리, 클러스터링 계수 등을 정확히 유도하고, 이들 그래프 집합을 리노마이즈이션 그룹(RG) 흐름에 매핑한다. 고정점 그래프는 엔트로피 최적화와 동일한 형태로 도출되며, 그래프 엔트로피는 지도(Lyapunov) 지수와 부호와 무관하게 일치한다는 흥미로운 결과를 제시한다.

상세 분석

수평 가시성(HV) 변환은 시계열의 각 데이터 포인트를 정점으로, 두 점 사이에 수평선이 다른 모든 점보다 높은 경우에만 간선을 연결하는 단순한 규칙을 갖는다. 이 규칙은 시계열의 순서와 상대적인 크기 정보를 보존하면서도 복잡한 네트워크 구조를 생성한다는 점에서, 비선형 동역학계의 특성을 그래프 이론적 관점에서 해석할 수 있는 강력한 도구가 된다. 논문은 먼저 일차원 단일극성 지도(예: 로지스틱 맵)의 페게넘버 시나리오, 즉 매개변수 μ가 임계값 μ∞에 접근하면서 무한히 많은 주기-이중화가 일어나는 과정을 분석한다. 각 이중화 단계 n에서 생성되는 주기 2ⁿ 궤도는 HV 변환을 거쳐 동일한 구조적 패턴을 가진 그래프 군집을 만든다. 이 그래프들은 차수 분포 P(k)에서 뚜렷한 계단형 형태를 보이며, k=2,3,…에 대한 확률이 정확히 2^{-(k-1)}와 같은 기하급수적 감소를 따른다. 평균 최단 거리 ⟨ℓ⟩는 로그 스케일로 성장하여 ⟨ℓ⟩≈(log₂N)/2와 같은 식으로 표현될 수 있다. 클러스터링 계수 C는 전체 그래프가 트리 구조에 가까워짐에 따라 0에 수렴하지만, 이중화 단계마다 일시적인 피크를 나타내어 구조적 재배열을 반영한다.

리노마이즈이션 그룹(RG) 접근법에서는 한 단계의 이중화를 그래프 상에서 ‘축소 변환’으로 정의한다. 구체적으로, 인접한 두 정점을 하나의 슈퍼노드로 합치고, 연결 관계를 재정의하는 과정을 반복하면, 무한히 많은 이중화 단계가 진행될수록 그래프는 고정점 형태에 수렴한다. 이 고정점 그래프는 자기유사성을 갖으며, 차수 분포와 거리 스케일이 변하지 않는다. 흥미롭게도, 고정점 그래프는 엔트로피 최적화 문제의 해와 일치한다. 즉, 그래프 집합 {Gₙ}에 대해 엔트로피 S=−∑ₖP(k)logP(k)를 최대화하면, 동일한 차수 분포와 연결 패턴을 갖는 고정점 그래프가 도출된다. 이는 물리학에서 RG 흐름과 최대 엔트로피 원리가 동일한 최적화 기준을 공유한다는 일반적인 가설을 구체적인 사례로 입증한다.

마지막으로, 그래프 엔트로피 S와 원래 동역학계의 Lyapunov 지수 λ 사이의 정량적 관계를 조사한다. 수치 실험 결과, S와 λ는 거의 일대일 대응 관계를 보이며, λ가 양수(혼돈)든 음수(주기)든 그 절댓값과 거의 동일한 값을 갖는다. 이는 HV 그래프가 시계열의 복잡도와 예측 가능성을 정확히 포착한다는 강력한 증거이며, 엔트로피를 통해 Lyapunov 지수를 직접 추정할 수 있는 새로운 방법론을 제시한다.