정규직교 확장을 이용한 ℓ1 최소화 알고리즘

본 논문은 압축 센싱(Compressed Sensing) 분야에서 핵심적인 ℓ1 최소화 문제, 즉 Basis Pursuit(BP) 문제를 새로운 관점으로 재구성하고 효율적인 해결 알고리즘을 제안한다. **1. 배경 및 문제 정의** 압축 센싱은 신호 x∈ℝⁿ이 희소하거나 근사 희소라는 사전 지식을 이용해, 측정 행렬 A∈ℝ^{m×N} (m≪N)와 측정값 b=Ax+e 로부터 원본 신호를 복원한다. 가장 널리 쓰이는 복원 방법은 ℓ1 노름 최소화인 BP 혹은 그 잡음 버전인 Basis Pursuit Denoising(BPDN)이다. 기존에는 내부점법, conjugate gradient, FPC, IST, AMP 등 다양한 알고리즘이 제안되었지만, 각각 수렴 속도·정확도·구현 복잡도 사이에 trade‑off가 존재한다. **2. 정규직교 확장(Orthonormal Expansion)** 저자들은 A의 행이 정규직교(AAᵀ=I)라는 가정을 도입한다. 이는 DCT, DFT, Haar 등 빠른 변환 행렬이 실제로 만족하는 특성이다. 이때 A를 부분 행렬이라 보고, A와 직교하는 행들로 구성된 B∈ℝ^{(N‑m)×N} 를 만든다. 두 행렬을 수직 결합하면 전체 N×N 정규직교 행렬 Φ=