사이클로토믹 다항식으로 생성된 조화합과 다중로그함수

초록

본 논문은 양자장론 고차 루프 적분에서 등장하는 새로운 종류의 중첩 조화합을 체계적으로 정의하고, 이를 사이클로토믹 다항식으로 구성된 알파벳 위의 피카레 반복 적분(사이클로토믹 조화다중로그)과 연결한다. Mellin 변환을 이용해 합을 적분 형태로 바꾸고, 복소수 N에 대한 해석적 연속, 무한극한값(색상 다중제타값) 및 가중치 w=1,2까지의 기저 구조를 제시한다.

상세 분석

논문은 먼저 기존의 중첩 조화합 S_{b,\vec a}(N)=\sum_{k=1}^N (\operatorname{sign}b)^k/k^{|b|} S_{\vec a}(k) 를 일반화하여, 분모에 (l·k+m)^n 형태의 다항식이 등장하는 경우를 다룬다. 이러한 합은 (±1)^k/(l·k+m)^n 로 표현될 수 있으며, l·k+m 은 사이클로토믹 다항식 Φ_l(x) 의 근을 이용한 적분 표현으로 전환된다. 저자들은 알파벳
A = {1/x} ∪ {x^l/Φ_k(x) | k∈ℕ, 0≤l<φ(k)}
위에서 피카레 반복 적분 C_{l_1,…,l_m}^{k_1,…,k_m}(z) 를 정의하고, 이를 “사이클로토믹 조화다중로그” H_{\vec a}(z) 라 명명한다. 이 함수들은 기존의 조화다중로그와 달리 φ(k)개의 새로운 문자 f_{l}^{k}(x)=x^l/Φ_k(x) 를 포함하므로, 무한히 많은 알파벳을 갖는 shuffle algebra 를 형성한다.

Mellin 변환 M