인과성 및 엔트로피‑복잡도 평면: 견고성 및 누락된 서수 패턴

초록

본 논문은 로지스틱 맵으로 생성된 혼돈 시계열에 색깔 잡힌(상관된) 잡음을 가산하여, 인과성 엔트로피‑복잡도 평면과 누락 서수 패턴 소멸률을 이용해 결정론적 성분과 무작위성을 정량화한다. 실험 결과, 엔트로피‑복잡도 평면만으로도 잡음 강도와 상관성에 관계없이 원래의 결정론적 구조를 효과적으로 식별할 수 있음을 보여준다.

상세 분석

이 연구는 두 가지 독립적인 비선형 시계열 분석 도구—인과성 엔트로피‑복잡도 평면(Causality‑Entropy‑Complexity Plane, CECP)과 누락 서수 패턴(Missing Ordinal Patterns, MOP)—의 결합을 통해 결정론적 신호와 잡음의 상대적 기여도를 정밀하게 구분하고자 한다. CECP는 밴드폭이 제한된 확률 분포를 기반으로 샤논 엔트로피와 통계적 복잡도(플라톤 복잡도)를 동시에 시각화함으로써, 순수 난수와 저차원 혼돈 시스템을 구분하는 데 탁월한 구분력을 제공한다. 반면 MOP는 시간 순서에 따라 서수 패턴을 나열하고, 이론적으로 가능한 모든 패턴 중 실제 데이터에서 관측되지 않은 패턴의 비율을 측정한다. 무작위 시계열에서는 누락 패턴이 급격히 감소하지만, 결정론적 혹은 저차원 혼돈 시계열에서는 특정 패턴이 지속적으로 누락되는 특성이 있다.

논문은 로지스틱 맵( r = 4 )을 이용해 완전한 혼돈 시계열을 생성하고, 여기서 f‑k 전력 스펙트럼(0 ≤ k ≤ 2)을 갖는 색 잡음(white, pink, red 등)을 다양한 진폭으로 가산한다. 이때 사용된 임베딩 차원 d와 지연 τ는 일반적인 선택인 d = 4, τ = 1을 유지했으며, 이는 서수 패턴의 총 개수( d! = 24 )가 충분히 많아 통계적 안정성을 확보한다. 각 잡음 수준에 대해 CECP 상의 위치와 MOP 소멸률을 동시에 계산하였다.

주요 발견은 다음과 같다. 첫째, 잡음 진폭이 증가함에 따라 엔트로피는 단조 상승하지만 복잡도는 비선형적으로 변한다; 특히, 낮은 상관(k≈0) 잡음에서는 복잡도가 급격히 감소해 무작위에 가까운 영역으로 이동하지만, 높은 상관(k≈2) 잡음에서는 복잡도가 일정 수준을 유지하며 결정론적 구조가 부분적으로 보존된다. 둘째, MOP 소멸률은 잡음 진폭이 커질수록 빠르게 0에 수렴하지만, 상관성이 높은 잡음에서는 완전한 소멸까지 더 많은 데이터 포인트가 필요하다. 셋째, CECP만을 이용했을 때도 잡음 종류와 강도에 관계없이 원래 로지스틱 맵의 특성이 “복잡도 고점—엔트로피 중간” 영역에 남아 있음을 확인했다. 이는 MOP 분석을 별도로 수행하지 않아도, CECP가 잡음에 대한 내성을 가지고 결정론적 성분을 효과적으로 드러낼 수 있음을 의미한다.

이러한 결과는 실험 데이터가 제한된 길이와 잡음 오염을 포함할 때, 복잡도‑엔트로피 평면이 빠르고 직관적인 진단 도구가 될 수 있음을 시사한다. 특히, MOP 분석은 계산량이 상대적으로 크고 데이터 길이에 민감한 반면, CECP는 짧은 시계열에서도 안정적인 추정이 가능하다. 따라서 두 방법을 병행하면 서로의 약점을 보완하면서도, 잡음 특성(색상, 진폭)과 결정론적 신호의 상대적 비중을 정량화하는 강력한 프레임워크를 제공한다.