3‑SAT 중위값 문제의 고전·양자 어닐링 복잡도 비교

초록

본 연구는 고유 해를 갖는 3‑SAT 인스턴스 집합에서 고전적 멀티캐노니컬 MC와 양자 아다iabatic 알고리즘을 적용해 복잡도를 측정한다. 고전적 탐색 시간과 핵생성 장벽이 변수 수 N에 대해 지수적으로 증가함을 확인했으며, 양자 경우 최대 스핀‑스핀 상관길이(에너지 갭의 역수) 역시 지수적 증가를 보인다. 양자 성장률 상수는 고전적 것보다 3.8배 커서, 표준 AQC가 다항시간 해결을 제공하지 못함을 입증한다.

상세 분석

이 논문은 NP‑hard 문제인 3‑SAT을 “고유 만족(assignments, USA)” 인스턴스에 한정하여, 변수 수 N≤100(고전) 및 N≤80(양자) 범위에서 복잡도 특성을 정량화한다. 고전적 측면에서는 멀티캐노니컬(MUCA) 및 Wang‑Landau 기법을 이용해 에너지 밀도 n(E)를 추정하고, 그로부터 구해지는 자유에너지 장벽 B₀와 평균 탐색 시간 τ₀를 분석한다. τ₀는 “에너지 공간에서의 랜덤 워크”와 실제 MC 동역학 사이의 차이를 보정하기 위해 N⁻²로 정규화하였다. 결과적으로 τ₀와 B₀ 모두 A·exp(g_c N) 형태의 지수적 스케일을 보이며, r=8(절대값 비율)에서는 g_τ≈0.016, g_B≈0.21, r=5에서는 g_τ≈0.077, g_B≈0.078을 얻었다. 이는 무작위 탐색의 g=ln2보다 현저히 작지만, 여전히 지수적 복잡도를 유지한다는 점을 시사한다.

양자적 분석에서는 표준 아다iabatic 양자 컴퓨팅(AQC) 프레임워크를 채택한다. 문제 해밀토니안 H₀와 전이장(H_D=∑σ_i^x)를 선형 보간 λ∈