다중완화시간 격자볼츠만 모델로 구현하는 가변 비열비·프란틀 수 압축 흐름 시뮬레이션

초록

본 논문은 2차원 16속도 격자볼츠만 모델을 기반으로, 국부 평형 분포와 연계된 7개의 모멘트 관계를 이용해 변환 행렬을 구성한 다중완화시간(MRT) 격자볼츠만 스킴을 제안한다. 이 스킴은 특정 열비와 프란틀 수를 자유롭게 조절할 수 있으며, 연속극한에서 가변 비열비와 프란틀 수를 갖는 압축성 나비에-스토크스 방정식을 정확히 회복한다. 수치 실험을 통해 마하수 5 수준의 강한 충격파를 포함한 압축 흐름을 안정적으로 시뮬레이션할 수 있음을 확인하였다.

상세 분석

제안된 MRT 격자볼츠만 모델은 기존 단일완화시간(LBGK) 방식이 갖는 프란틀 수 고정 및 비열비 제한을 근본적으로 해소한다. 이를 위해 저자들은 2‑D 16‑velocity 디스크리트 속도 집합(D2Q16)을 선택하고, 각 속도에 대응하는 순간(moment)들을 ρ, ρu, ρE, Πxx, Πyy, Πxy, qx와 같은 7개의 물리량으로 정의하였다. 이러한 순간들은 국부 평형 분포 함수 feq의 2차 및 3차 모멘트와 직접 연관되며, 변환 행렬 M을 통해 분포 함수 f와 순간 벡터 m 사이를 상호 변환한다. MRT 접근법의 핵심은 각 순간에 별도의 완화 시간 τi를 부여함으로써 점성계수와 열전도율을 독립적으로 조절할 수 있다는 점이다. 특히, 압축성 흐름에서 중요한 에너지 순간 qx, qy에 대한 완화 시간을 조절함으로써 프란틀 수 Pr = μCp/κ 를 원하는 값으로 설정할 수 있다.

연속극한 해석에서는 체인룰(Chapman‑Enskog) 전개를 적용하여, 1차 항에서 질량·운동량 보존 방정식, 2차 항에서 점성항과 열전도항이 나타나게 된다. 여기서 점성계수 μ는 τs (전단 모멘트 완화 시간)와 직접 비례하고, 열전도율 κ는 τq (열 플럭스 모멘트 완화 시간)와 비례한다. 따라서 Pr = (τs · Cp)/(τq) 형태로 자유롭게 조정 가능하다. 또한, 비열비 γ는 평형 분포 함수에 포함된 자유도(free‑degree) 파라미터를 통해 조절되며, 이는 내부 에너지 모드(예: 회전·진동 자유도)를 모델에 포함시킴으로써 구현된다.

수치 검증에서는 1‑D 충격파 튜브 문제, 2‑D 복사형 충격 파동, 그리고 마하수 5에 달하는 복합 충격·팽창 흐름을 시뮬레이션하였다. 결과는 전통적인 고해상도 유한차분(FVM) 혹은 기존 LBGK 기반 LB 모델과 비교했을 때, 압력·밀도·속도 프로파일이 높은 정확도를 유지하면서도 비진동성(oscillation)과 수치 확산을 크게 억제한다는 점에서 우수함을 보여준다. 특히, Pr와 γ를 임의로 설정한 경우에도 물리적 일관성을 유지하며, 경계 조건 처리와 격자 정밀도에 대한 민감도가 낮아 실용적인 CFD 적용 가능성을 높인다.

이와 같이, 저자들은 MRT 프레임워크를 이용해 압축성 흐름의 핵심 물리량을 독립적으로 제어할 수 있는 새로운 격자볼츠만 스킴을 제시함으로써, 고마하수·고압축 환경에서의 수치 안정성 및 정확성을 크게 향상시켰다. 향후 3‑D 확장, 복합 물성(다상·반응) 모델링, 그리고 GPU 기반 고성능 구현 등에 대한 연구가 기대된다.