극좌표에서 분리 가능한 3차 초적분가능 시스템

초록

본 논문은 2차원 유클리드 평면 (E_2) 에서 극좌표로 변수분리를 허용하고, 운동량에 대한 3차 추가 적분을 갖는 양자·고전 초적분가능 시스템을 전면적으로 분류한다. 새로운 양자 초적분가능 모델이 발견되었으며, 그 포텐셜은 6차 Painlevé 전이함수 혹은 Weierstrass 타원함수 형태로 표현된다.

상세 분석

이 연구는 초적분가능성(superintegrability)의 정의를 “자유도 (n) 인 시스템이 (2n-1)개의 독립적인 적분을 갖는 경우”로 시작한다. 2차원 평면 (E_2) 에서는 두 개의 자유도가 있으므로, 완전 초적분가능성을 위해서는 세 개의 상호 독립적인 적분이 필요하다. 기존 연구에서는 2차(또는 1차) 적분을 가진 시스템이 많이 다루어졌지만, 3차 적분을 포함하는 경우는 아직 체계적인 분류가 부족했다. 저자들은 특히 극좌표 ((r,\theta))에서 변수분리가 가능한 포텐셜을 가정하고, 해밀턴 연산자 (H)와 3차 적분 (X) 사이의 교환 관계 (