원자 전자배치 기반 통계 복잡도와 피셔‑샤논 정보의 비상대론·상대론 비교 연구

이 논문은 원자 전자 구조를 연속적인 전자밀도 ρ(r) 대신, 각 전자 껍질에 대한 점유 확률 pₖ로 이산화하여 통계 복잡도와 Fisher‑Shannon 정보를 전 주기표에 걸쳐 계산하는 새로운 방법론을 제시한다. 기존 연구에서는 Hartree‑Fock 혹은 Dirac‑Fock 파동함수를 이용해 연속적인 ρ(r)를 구하고, 이를 기반으로 Shannon 엔트로피, Fisher 정보, disequilibrium 등을 계산하였다. 이러한 접근법은 정확하지만 계산량이 크고, 특히 상대론적 효과를 포함하려면 복잡한 Dirac‑Fock 계산이 필요했다. 저자들은 먼저 원자 번호 Z에 대해 전자 배치를 (n l) w 형태(비상대론적)와 (n l j±) w± 형태(상대론적)로 정리한다. 여기서 n은 주양자수, l은 궤도 각운동량, j = l ± ½는 총각운동량이며, w는 해당 껍질에 존재하는 전자 수이다. 각 껍질에 대한 전자 수를 Z 로 나누어 pₖ = w/Z 로 정의함으로써, 원자를 ν개의 확률값 {pₖ} 로 표현한다. 이 확률분포는 ∑pₖ = 1 을 만족한다. 통계 복잡도 C는 LMC 형태 C = H·D 로 정의된다. H는 정보량을 나타내는 지수형 Shannon 엔트로피 H = e^S, 여기서 S는 이산 Shannon 엔트로피 S = −∑pₖ log pₖ. D는 disequilibrium D = ∑(pₖ−1/ν)² 로, 확률분포가 균등에 가까울수록 D는 작아진다. Fisher‑Shannon 정보 P는 P = J·I 로 정의되며, J는 “전력형” Shannon 엔트로피 J = (2πe)⁻¹ e^{2S/3}, I는 이산 Fisher 정보 I = ∑(pₖ₊₁−pₖ)²/pₖ (p_{ν+1}=0) 로 계산한다. 계산은 Z = 1부터 Z = 118까지 모든 원자에 대해 수행되었다. 비상대론적(NR) 경우와 상대론적(R) 경우를 각각 별도로 분석하였다. 결과는 다음과 같다. 1. **통계 복잡도 C** - C는 Z가 증가함에 따라 평균적으로 상승한다. 이는 원자 번호가 커질수록 전자 수가 늘어나 확률분포가 더 복잡해지기 때문이다. - 비활성 기체(He, Ne, Ar, Kr, Xe, Rn)에서는 C가 국소적인 최소값을 보이며, 이는 껍질이 완전히 채워져 disequilibrium가 감소하기 때문이다. 다만 NR 경우에는 Ne와 Ar에서 최소값이 완전히 드러나지 않아, 단순 (n l) w 표현만으로는 일부 껍질 구조를 충분히 포착하지 못함을 시사한다. - R 경우에서는 모든 비활성 기체에서 명확한 최소값이 관찰되며, 스핀‑오비트에 의한 j‑분할이 확률분포를 더욱 세분화시켜 껍질 완성 효과를 강조한다. 2. **Fisher‑Shannon 정보 P** - P는 Z와 함께 전반적으로 증가하지만, NR과 R 사이에 차이가 뚜렷하다. - R 경우에서는 비활성 기체에서 뚜렷한 최대값을 보이며, 이는 J와 I가 동시에 크게 증가하기 때문이다. J는 Shannon 엔트로피가 커질수록 커지고, I는 인접 확률 차이가 클 때 크게 증가한다. 스핀‑오비트 분할로 인해 각 j값이 별도 확률 집합을 이루어, 비활성 기체에서 확률 간 차이가 크게 나타난다. - 비정상적 전자 배치(4s‑3d, 5s‑4d, 6s‑5d 전이)에서도 P가 급격히 상승하는 피크를 형성한다. 예를 들어 Cr와 Cu(4s‑3d), Nb와 Mo(4d‑5s), Pt와 Au(5d‑6s) 등에서 이러한 피크가 관찰된다. 이는 전자 배치가 전형적인 Aufbau 원칙을 따르지 않아 인접 껍질 간 전자 수 차이가 크게 발생하기 때문이다. 3. **비교 및 의의** - 기존 연속밀도 기반 연구