최대 여행 판매원 문제 7/9 근사 알고리즘

초록

본 논문은 완전 가중 그래프에서 최대 가중 해밀턴 순환을 찾는 최대 여행 판매원 문제(Max‑TSP)에 대해 7/9의 근사 비율을 보장하는 새로운 다항식 시간 알고리즘을 제시한다. 알고리즘은 최대 가중 2‑팩터(사이클 커버)를 기반으로 매칭과 경로 교환 기법을 결합해 하나의 해밀턴 순환으로 통합한다. 이 과정에서 각 단계별 손실을 정밀히 분석하여 전체 해의 가중치가 최적 해의 최소 7/9 이상임을 증명한다. 시간 복잡도는 O(n³)이며, 기존 2/3‑근사 알고리즘을 크게 개선한다.

상세 분석

논문은 먼저 Max‑TSP를 완전 가중 그래프 G=(V,E,w) 위에서 정의하고, 최적 해의 가중치를 OPT라 두었다. 기존 연구에서는 최대 가중 사이클 커버(2‑팩터)를 구한 뒤, 이를 하나의 해밀턴 순환으로 변환하는 과정에서 평균 2/3 정도의 비율만을 보장했었다. 저자들은 이 한계를 극복하기 위해 두 가지 핵심 아이디어를 도입한다. 첫 번째는 “최대 가중 매칭 + 최대 가중 사이클 커버”의 조합이다. 그래프에서 최대 가중 매칭 M을 구하고, 남은 정점들에 대해 최대 가중 2‑팩터 C를 찾는다. 이때 M과 C는 서로 겹치지 않으며, 각각이 차지하는 가중치의 합은 OPT의 일정 비율을 보장한다는 레마를 증명한다. 두 번째는 “경로 교환(Path Swapping)” 기법이다. C에 포함된 사이클들을 연결해 하나의 큰 사이클로 만들기 위해, 사이클 간에 공유되는 매칭 엣지를 이용해 두 사이클를 하나로 합치는 연산을 수행한다. 이 과정에서 발생할 수 있는 가중치 손실을 상한선으로 잡아, 전체 손실이 전체 가중치의 2/9 이하임을 수학적으로 증명한다. 특히, 저자들은 각 사이클에 대해 “핵심 엣지”(핵심 가중치가 큰 엣지)와 “보조 엣지”(핵심 엣지를 보완하는 엣지)를 구분하고, 보조 엣지를 교환할 때 발생하는 손실을 최소화하는 최적 매칭을 선택한다. 이러한 선택은 이분 그래프 매칭 이론과 할당 문제의 듀얼을 활용해 다항식 시간 내에 해결된다.

알고리즘의 흐름은 크게 네 단계로 요약된다. (1) 전체 그래프에서 최대 가중 매칭 M을 찾는다. (2) M을 제외한 서브그래프에서 최대 가중 2‑팩터 C를 구한다. (3) C에 포함된 각 사이클에 대해, 매칭 M에 속하는 엣지를 이용해 사이클 간 연결 가능한 “브리지”를 탐색한다. (4) 선택된 브리지를 통해 사이클을 순차적으로 합쳐 최종 해밀턴 순환 H를 만든다. 각 단계마다 가중치 손실을 정량화하고, 최악의 경우에도 전체 가중치가 OPT·7/9 이상임을 보인다.

복잡도 분석에서는 단계 (1)과 (2)가 각각 O(n³) 시간의 Edmonds’ Blossom 알고리즘에 기반하고, 단계 (3)과 (4)는 O(n²) 이하의 선형 탐색으로 구현 가능함을 보여준다. 따라서 전체 알고리즘은 O(n³) 시간에 실행된다. 또한, 실험 결과 섹션에서는 무작위 완전 그래프와 실제 거리 기반 인스턴스에 대해 기존 2/3‑근사와 비교했을 때 평균 0.78~0.84 수준의 실측 비율을 기록, 이론적 7/9(≈0.777…)와 일치함을 확인한다.

결론적으로, 논문은 Max‑TSP에 대한 7/9 근사 비율을 최초로 달성한 다항식 시간 알고리즘을 제시함으로써, 이 분야의 근사 한계를 크게 확장하였다. 또한, 매칭‑사이클 커버‑경로 교환이라는 세 단계 구조는 다른 그래프 최적화 문제에도 적용 가능성을 시사한다.