무한 k진법 문자열의 이산 상관계수와 일반화 루딘쇼프라크 수열

초록

본 논문은 유한 알파벳 위의 무한 문자열에 대해 두 기호가 동일한지 여부만을 고려한 이산 상관함수를 정의하고, 그 상관값이 가질 수 있는 최댓값에 대한 상한을 조합론적으로 증명한다. 또한 루딘‑쇼프라크 수열을 일반화한 명시적 구성법을 제시하여, 이 상한을 실제로 달성함을 보인다.

상세 분석

논문은 먼저 알파벳 크기 k인 집합 Σ={0,1,…,k‑1} 위의 무한 시퀀스 a=(a_n){n≥0}에 대해, 두 위치 i와 j(i<j)에서 기호가 일치하는지를 0‑1 값으로 나타내는 함수 δ{i,j}=1_{a_i=a_j}를 정의한다. 이산 상관계수 C_d는 고정된 거리 d에 대해 C_d(N)=\frac1N\sum_{n=0}^{N-1}δ_{n,n+d} 로, N이 무한대로 갈 때의 극한값을 연구한다. 기존에 잘 알려진 루딘‑쇼프라크 수열은 이산 상관이 평균 1/2에 가깝다는 특성을 가지고 있어, 무작위 시퀀스와 비슷한 ‘평균 무상관’ 성질을 보여준다.

저자들은 먼저 임의의 무한 시퀀스에 대해 모든 거리 d에 대해 C_d가 1/2보다 크게 될 수 없다는 전역적인 상한을 조합론적 방법으로 도출한다. 핵심 아이디어는 길이 N 구간에서 발생하는 일치 쌍의 총수를 두 번 카운트하는 이중합을 이용해, 평균 일치율이 1/2를 초과하면 파르티션 원리와 펜로즈-하디 정리와 모순이 발생함을 보이는 것이다. 이 과정에서 ‘시프트 불변성’과 ‘대칭성’이라는 두 가지 구조적 제약을 활용한다.

그 다음 저자들은 루딘‑쇼프라크 수열의 재귀적 정의를 k‑진법으로 확장한다. 구체적으로, 초기 블록을 길이 k의 모든 기호가 한 번씩 나타나는 순열로 잡고, 재귀 단계에서 기존 블록을 k개의 복사본으로 확장하되, 각 복사본에 서로 다른 선형 변환(예: 곱셈·덧셈 모듈러 k)을 적용한다. 이렇게 구성된 일반화 루딘‑쇼프라크 수열은 각 거리 d에 대해 C_d가 정확히 1/2에 수렴함을 증명한다. 특히, 이 수열은 ‘최대 차이’를 달성한다는 의미에서, 앞서 증명한 상한을 완전히 채운다.

이 결과는 두 가지 중요한 통찰을 제공한다. 첫째, 임의의 k‑진법 무한 시퀀스는 구조적 제약 때문에 완전한 무상관을 가질 수 없으며, 그 한계는 1/2라는 보편적인 값으로 고정된다. 둘째, 루딘‑쇼프라크와 그 일반화는 이 한계를 실제로 달성하는 구체적인 예시를 제공함으로써, 조합론적 상한이 실제로 ‘조밀하게’ 맞춰질 수 있음을 보여준다. 이러한 발견은 암호학, 통신 이론, 그리고 무작위성 테스트와 같은 분야에서, 제한된 알파벳 위의 시퀀스 설계에 대한 새로운 설계 원칙을 제시한다.