다중접두 연산자와 연산자 군

초록

본 논문은 동일한 이항 연산자를 괄호 없이 연속적으로 적용하는 경우를 ‘다중접두 연산자(poly‑infix operator)’로 정의하고, 이를 ‘연산자 군(operator family)’이라는 체계로 정형화한다. 연산자 군은 커널 연산자(이항 연산자)와 그에 대응하는 n‑자리 연산자 Ψₙ을 포함하며, 좌·우 결합 법칙(AttL, AttR)으로 연산자의 결합성을 보장한다. 교육 현장에서의 ‘7+7+7’ 같은 표현을 형식적으로 다루는 새로운 등식 논리를 제시하고, 사전·사후 산술적 예시와 행렬 곱셈 등 다양한 사례를 통해 이론의 적용 가능성을 보여준다.

상세 분석

논문은 먼저 전통적인 이항 연산자에 대한 괄호 생략 관행이 ‘연관법칙(associativity)’에 의존한다는 점을 지적한다. 그러나 실제 수학교육이나 프로그래밍 언어에서는 ‘7+7+7’과 같이 동일 연산자를 연속적으로 나열하는 경우가 빈번히 나타나며, 이때 괄호를 명시하지 않아도 의미가 명확하다는 직관을 포착한다. 이를 형식화하기 위해 저자는 ‘다중접두 연산자(poly‑infix operator)’라는 개념을 도입한다.

핵심 정의는 다음과 같다. 정렬 S와 이항 함수 기호 Ψ가 주어지면, Ψ를 커널이라 하고, 각 n≥2에 대해 Ψₙ : Sⁿ → S 라는 n‑자리 연산자를 만든다. 기본 이항 연산은 Ψ₂(x₁,x₂)=x₁ Ψ x₂ 로 정의하고, 재귀적 정의를 통해 Ψₙ₊₁를 구성한다. 두 개의 재귀 규칙 AttLₙ₊₁와 AttRₙ₊₁는 각각 왼쪽 결합과 오른쪽 결합을 명시한다:
Ψₙ₊₁(x₁,…,xₙ₊₁)=Ψₙ(Ψ₂(x₁,x₂),…,xₙ₊₁) (AttL)
Ψₙ₊₁(x₁,…,xₙ₊₁)=Ψₙ(x₁,…,Ψ₂(xₙ,xₙ₊₁)) (AttR)

이 두 규칙을 귀납적으로 적용하면 모든 n에 대해 Ψₙ₊₁(x₁,…,xₙ₊₁)=Ψ₂(Ψₙ(x₁,…,xₙ),xₙ₊₁)=Ψ₂(x₁,Ψₙ(x₂,…,xₙ₊₁)) 가 성립한다. 즉, 다중접두 연산자는 이항 연산자의 결합법칙을 완전하게 대체한다. 필요에 따라 Ψ₁(x)=x, Ψ₀=e_Ψ(단위 원소) 등을 도입해 ‘빈 연산’까지 포괄한다.

‘다중접두 표기법(poly‑infix notation)’을 사용하면 x₁ Ψ x₂ … Ψ xₙ을 Ψₙ(x₁,…,xₙ) 로 간단히 쓸 수 있다. 이 표기법은 괄호를 전혀 쓰지 않아도 되며, AttL·AttR 규칙이 보장하는 결합성을 통해 임의의 괄호 배치를 자유롭게 재구성할 수 있다. 예를 들어 x₁ Ψ x₂ Ψ x₃ Ψ x₄ Ψ x₅ = x₁ Ψ (x₂ Ψ x₃) Ψ x₄ Ψ x₅ 와 같이 중간에 괄호를 삽입해도 의미가 변하지 않는다.

다음으로 저자는 구체적인 연산자 군의 사례를 제시한다. 사전산술적 예시로는 (1) 병렬 합성(p₁‖…‖pₙ), (2) 순차 합성(u₁;…;uₙ), (3) 프레임 합성(f₁⊕…⊕fₙ) 등이 있다. 이들은 프로세스 병합, 명령열, 그래프 프레임 결합 등 실제 컴퓨팅 상황에 바로 적용 가능하다.

이어지는 ‘내부 산술적’ 예시에서는 전통적인 덧셈(+)과 곱셈(·)을 커널로 하는 다중접두 연산자를 살펴본다. 반복된 덧셈은 곱셈을, 반복된 곱셈은 거듭제곱을 정의하는 데 쓰이며, 이는 교육 교재에서 흔히 보이는 “7+7+7” 형태를 형식적으로 해석한다. 마지막으로 ‘사후 산술적’ 예시로는 n×n 행렬 곱셈을 제시한다. 여기서는 행렬 곱셈 자체가 이미 이항 연산자이지만, 다중접두 연산자 형태로 확장하면 여러 행렬을 연속적으로 곱하는 과정을 괄호 없이 기술할 수 있다.

논문의 핵심 기여는 ‘다중접두 전용 등식 논리’를 제시한 점이다. Ψ‑표현식은 Ψ가 아닌 연산자를 포함하지 않는 경우 길이가 1인 기본 표현식으로 간주한다. Ψ‑표현식 컨텍스트 C